Question

在一條筆直的工藝流水線上有n個(gè)工作臺(tái)，將工藝流水線用如圖所示的數(shù)軸表示，各工作臺(tái)的坐標(biāo)分別為x₁，x₂，…，x_n，每個(gè)工作臺(tái)上有若干名工人．現(xiàn)要在流水線上建一個(gè)零件供應(yīng)站，使得各工作臺(tái)上的所有工人到供應(yīng)站的距離之和最短．
（Ⅰ）若n=3，每個(gè)工作臺(tái)上只有一名工人，試確定供應(yīng)站的位置；
（Ⅱ）若n=5，工作臺(tái)從左到右的人數(shù)依次為3，2，1，2，2，試確定供應(yīng)站的位置，并求所有工人到供應(yīng)站的距離之和的最小值．

Answer 1

分析：設(shè)供應(yīng)站坐標(biāo)為x，各工作臺(tái)上的所有工人到供應(yīng)站的距離之和為d（x）．
對(duì)于（1）由題意有d（x）=|x-x₁|+|x-x₂|+|x-x₃|然后對(duì)x的范圍進(jìn)行討論分析，知當(dāng)x=x₂時(shí)，所有工人到供應(yīng)站的距離之和最短．
對(duì)于（2）由題設(shè)知，各工作臺(tái)上的所有工人到供應(yīng)站的距離之和為d（x）=3|x-x₁|+2|x-x₂|+|x-x₃|+2|x-x₄|+2|x-x₅|．對(duì)x的取值范圍進(jìn)行分類討論，判斷最佳的位置．

解答：解：設(shè)供應(yīng)站坐標(biāo)為x，各工作臺(tái)上的所有工人到供應(yīng)站的距離之和為d（x）．
（Ⅰ）d（x）=|x-x₁|+|x-x₂|+|x-x₃|．（2分）
當(dāng)x＜x₁時(shí)，d（x）=x₁+x₂+x₃-3x在區(qū)間（-∞，x₁）上是減函數(shù)；
當(dāng)x＞x₃時(shí)，d（x）=3x-（x₁+x₂+x₃）在區(qū)間（x₃，+∞）上是增函數(shù)．（4分）
所以，x必須位于區(qū)間[x₁，x₃]內(nèi)，此時(shí)d（x）=x₃-x₁+|x-x₂|（*），
當(dāng)且僅當(dāng)x=x₂時(shí)，（*）式取最小值，且d（x₂）=x₃-x₁，即供應(yīng)站的位置為x=x₂．（7分）
（Ⅱ）由題設(shè)知，各工作臺(tái)上的所有工人到供應(yīng)站的距離之和為d（x）
=3|x-x₁|+2|x-x₂|+|x-x₃|+2|x-x₄|+2|x-x₅|．（8分）
類似于（Ⅰ）的討論知，x₁≤x≤x₅，且有d ( x )=

2x2+x3+2x4+2x5-3x1-4x  x1≤x＜x2  x3+2x4+2x5-3x1-2x2         x2≤x＜x3  2x+2x4+2x5-3x1-2x2-x3  x3≤x＜x4  6x+2x5-3x1-2x2-x3-2x4  x4≤x≤x5

（11分）
所以，函數(shù)d（x）在區(qū)間（x₁，x₂）上是減函數(shù)，在區(qū)間（x₃，x₅）上是增函數(shù)，在區(qū)間[x₂，x₃]上是常數(shù)．故供應(yīng)站位置位于區(qū)間[x₂，x₃]上任意一點(diǎn)時(shí)，均能使函數(shù)d（x）取得最小值，且最小值為x₃+2x₄+2x₅-3x₁-2x₂，x₂≤x≤x₃．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力，以及綜合運(yùn)用函數(shù)知識(shí)解決問題的能力，在求最值的過程中，由于本題是絕對(duì)值函數(shù)，故需分類去絕對(duì)值號(hào)．