Question

已知函數(shù)f（x）=（x-a）²e^x，a∈R
（I）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（II）證明：當(dāng)a∈[-1，3]，x∈（-∞，1]時(shí)，f（x）≤4e．

Answer 1

（Ⅰ）解：f′（x）=2（x-a）e^x+（x-a）²e^x=（x-a）[x-（a-2）]e^x．…（2分）
令f′（x）=0，得x₁=a-2，x₂=a．
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x）、f（x）的變化如下：

x	（-∞，a-2）	a-2	（a-2，a）	a	（a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↗	極大值	↘	極小值	↗

所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間是（-∞，a-2），（a，+∞），單調(diào)遞減區(qū)間是（a-2，a）．…（6分）
（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）得[f（x）]_極大=f（a-2）=4e^a-2．
（1）當(dāng)a≤1時(shí)，f（x）在（-∞，1]上的最大值為f（a-2）或f（1），
由f（a-2）=4e^a-2≤4e；f（1）=（a-1）²e≤4e，解得-1≤a≤1，即-1≤a≤1時(shí)，f（x）≤4e；
（2）當(dāng)a-2≤1＜a，即1＜a≤3時(shí)，f（x）在（-∞，1]上的最大值為f（a-2），
此時(shí)f（a-2）=4e^a-2≤4e^3-2=4e；
綜上，當(dāng)a∈[-1，3]，x∈（-∞，1]時(shí)，f（x）≤4e．…（12分）
分析：（Ⅰ）求導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)x∈（-∞，1]時(shí)，由（Ⅰ）知f（x）在（-∞，1]上的最大值為f（a-2）或f（1），從而可證得結(jié)論．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，解題的關(guān)鍵是正確求導(dǎo)，確定函數(shù)的單調(diào)性