Question

一袋中裝有分別標(biāo)記著數(shù)字1、2、3、4的4個(gè)球，若從這只袋中每次取出1個(gè)球，取出后放回，連續(xù)取三次，設(shè)取出的球中數(shù)字最大的數(shù)為ξ．（1）求ξ=3時(shí)的概率；（2）求ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

分析：（1）ξ=3表示取出的三個(gè)球中數(shù)字最大者為3，三次取球均出現(xiàn)數(shù)字為3的概率p1=(

1

4

)3=

1

64

，三次取球中有2次出現(xiàn)數(shù)字為3的概率p2=

C

2 3

(

1

4

)2 (

2

4

)=

6

64

，三次取球中有1出現(xiàn)數(shù)字為3的概率p3=

C

1 3

(

1

4

)(

2

4

)2=

12

64

，由此能求出p（ξ=3）．．
（2）在ξ=k時(shí)，利用（1）的原理知p（ξ=k）=(

1

4

)3+

C

2 3

(

1

4

)2(

k-1

4

) +

C

1 3

(

1

4

) (

k-1

4

)2=

3k2-3k+1

64

，k=1，2，3，4．由此能求出ξ的概率分布列及數(shù)學(xué)期望．

解答：解：（1）ξ=3表示取出的三個(gè)球中數(shù)字最大者為3，
①三次取球均出現(xiàn)數(shù)字為3的概率p1=(

1

4

)3=

1

64

，
②三次取球中有2次出現(xiàn)數(shù)字為3的概率p2=

C

2 3

(

1

4

)2 (

2

4

)=

6

64

，
③三次取球中有1出現(xiàn)數(shù)字為3的概率p3=

C

1 3

(

1

4

)(

2

4

)2=

12

64

，
∴p（ξ=3）=p1+p2+p3=

19

64

．
（2）在ξ=k時(shí)，利用（1）的原理知：
p（ξ=k）=(

1

4

)3+

C

2 3

(

1

4

)2(

k-1

4

) +

C

1 3

(

1

4

) (

k-1

4

)2=

3k2-3k+1

64

，k=1，2，3，4．

點(diǎn)評：本題考查概率的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意離散型隨機(jī)變量概率分布列的求法．