定義在[1,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足:①f(2x)=cf(x)(c為正常數(shù));
②當(dāng)2≤x≤4時(shí),f(x)=1-|x-3|.試解答下列問題:
(1)設(shè)c>2,方程f(x)=2的根由小到大依次記為a1,a2,a3,…,an,…,試證明:數(shù)列a2n-1+a2n為等比數(shù)列;
(2)①是否存在常數(shù)c,使函數(shù)的所有極大值點(diǎn)均落在同一條直線上?若存在,試求出c的所有取值并寫出直線方程;若不存在,試說明理由;②是否存在常數(shù)c,使函數(shù)的所有極大值點(diǎn)均落在同一條以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線上?若存在,試求出c的所有取值并寫出拋物線方程;若不存在,試說明理由.
【答案】
分析:(1)先利用分類討論的方法化簡(jiǎn)函數(shù)f(x),令
,從而n≥3,故
或
,當(dāng)n≥3時(shí),
=
,于是a
1+a
2=2
2+2
3,a
3+a
4=2
3+2
4,從而a
2n-1+a
2n=2
n+1+2
n+2=12•2
n-1,n∈N
*.從而得出數(shù)列a
2n-1+a
2n構(gòu)成以12為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.
(2)記函數(shù)
的極大值點(diǎn)為p
n(x
n,y
n).由
=
(k表示直線的斜率),得c=2或c=1.分別求出當(dāng)c=2時(shí)的拋物線方程,以及當(dāng)c=4,
時(shí),拋物線方程即可.
解答:解:函數(shù)f(x)是一個(gè)分段函數(shù).
;
;
.
(1)令
,(2)
從而n≥3,故
或
,于是,
或
.
當(dāng)n≥3時(shí),
=
故
,
,
,
,于是a
1+a
2=2
2+2
3,a
3+a
4=2
3+2
4,從而a
2n-1+a
2n=2
n+1+2
n+2=12•2
n-1,n∈N
*.
故數(shù)列a
2n-1+a
2n構(gòu)成以12為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.(6分)
(2)記函數(shù)
的極大值點(diǎn)為p
n(x
n,y
n).
令
,即x
n=3•2
n-2時(shí),y
n=c
n-2,故p
n(3•2
n-2,c
n-2).
分別令n=1,2,3得
,p
2(3,1),p
3(6,c).
由
=
(k表示直線的斜率),得c=2或c=1.
當(dāng)c=2時(shí),y
n=2
n-2,x
n=3•2
n-2,所有極大值點(diǎn)均在直線
上;
當(dāng)c=1時(shí),y
n=1對(duì)n∈N
*恒成立,此時(shí)極大值點(diǎn)均在直線y=1上.(10分)
以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線方程可設(shè)為x
2=py(p≠0)或y
2=qx(q≠0).
若p
n(3•2
n-2,c
n-2).在拋物線x
2=py(p≠0)上,則(3•2
n-2)
2=pc
n-2,
即
對(duì)n∈N
*恒成立,從而c=4,p=9,拋物線方程為x
2=9y;
若p
n(3•2
n-2,c
n-2).在拋物線y
2=qx(q≠0)上,則(c
n-2)
2=3q•2
n-2,
即
對(duì)n∈N
*恒成立,從而
,拋物線方程為y
2=
x(14分)
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、不等式的解法、數(shù)列與函數(shù)的綜合等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.