定義在[1,+∞)上的函數(shù)f(x)滿足:①f(2x)=cf(x)(c為正常數(shù));
②當(dāng)2≤x≤4時(shí),f(x)=1-|x-3|.試解答下列問題:
(1)設(shè)c>2,方程f(x)=2的根由小到大依次記為a1,a2,a3,…,an,…,試證明:數(shù)列a2n-1+a2n為等比數(shù)列;
(2)①是否存在常數(shù)c,使函數(shù)的所有極大值點(diǎn)均落在同一條直線上?若存在,試求出c的所有取值并寫出直線方程;若不存在,試說明理由;②是否存在常數(shù)c,使函數(shù)的所有極大值點(diǎn)均落在同一條以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線上?若存在,試求出c的所有取值并寫出拋物線方程;若不存在,試說明理由.
【答案】分析:(1)先利用分類討論的方法化簡(jiǎn)函數(shù)f(x),令,從而n≥3,故,當(dāng)n≥3時(shí),=,于是a1+a2=22+23,a3+a4=23+24,從而a2n-1+a2n=2n+1+2n+2=12•2n-1,n∈N*.從而得出數(shù)列a2n-1+a2n構(gòu)成以12為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.
(2)記函數(shù)的極大值點(diǎn)為pn(xn,yn).由=(k表示直線的斜率),得c=2或c=1.分別求出當(dāng)c=2時(shí)的拋物線方程,以及當(dāng)c=4,時(shí),拋物線方程即可.
解答:解:函數(shù)f(x)是一個(gè)分段函數(shù).
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(1)令,(2)
從而n≥3,故,于是,
當(dāng)n≥3時(shí),=
,,,,于是a1+a2=22+23,a3+a4=23+24,從而a2n-1+a2n=2n+1+2n+2=12•2n-1,n∈N*
故數(shù)列a2n-1+a2n構(gòu)成以12為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列.(6分)
(2)記函數(shù)的極大值點(diǎn)為pn(xn,yn).
,即xn=3•2n-2時(shí),yn=cn-2,故pn(3•2n-2,cn-2).
分別令n=1,2,3得,p2(3,1),p3(6,c).
=(k表示直線的斜率),得c=2或c=1.
當(dāng)c=2時(shí),yn=2n-2,xn=3•2n-2,所有極大值點(diǎn)均在直線上;
當(dāng)c=1時(shí),yn=1對(duì)n∈N*恒成立,此時(shí)極大值點(diǎn)均在直線y=1上.(10分)
以原點(diǎn)為頂點(diǎn)的拋物線方程可設(shè)為x2=py(p≠0)或y2=qx(q≠0).
若pn(3•2n-2,cn-2).在拋物線x2=py(p≠0)上,則(3•2n-22=pcn-2,
對(duì)n∈N*恒成立,從而c=4,p=9,拋物線方程為x2=9y;
若pn(3•2n-2,cn-2).在拋物線y2=qx(q≠0)上,則(cn-22=3q•2n-2,
對(duì)n∈N*恒成立,從而,拋物線方程為y2=x(14分)
點(diǎn)評(píng):本小題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值、不等式的解法、數(shù)列與函數(shù)的綜合等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力、化歸與轉(zhuǎn)化思想.屬于基礎(chǔ)題.
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[     ]
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D.-6

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