Question

如圖三同心圓，其半徑分別為3、2、1．已知圖中陰影區(qū)域的面積是非陰影區(qū)域面積的

8

13

．則兩直線所夾銳角的弧度為

 

．

Answer 1

分析：首先把三個圓分別分析，第一個為圓，第二個為半徑2與半徑1的同心圓的圓環(huán)，第三個為半徑3與半徑2的同心圓的圓環(huán)．分別求出陰影部分的面積．然后通過已知陰影區(qū)域的面積占總面積的

8

21

，求出陰影部分面積．兩個面積相同，即可解除答案

解答：解：設(shè)兩直線所夾銳角的弧度為 α
根據(jù)題意，
對于第一個圓，陰影部分面積：

α

π

•π=α
對于第一個圓，陰影部分面積：

π-α

π

•(4π-π)=3π-3α
對于第一個圓，陰影部分面積：

α

π

•(9π-4π)=5α
所有陰影部分面積之和：α+3π-3α+5α=3π+3α                   ①
而根據(jù)已知圖中陰影區(qū)域的面積是非陰影區(qū)域面積的

8

13

可得：陰影區(qū)域的面積占總面積的

8

21

即陰影區(qū)域的面積 9π×

8

21

                                ②
由①②相等可得：3π+3α=9π×

8

21

  
解得：α=

π

7

故答案為：

π

7

．

點(diǎn)評：本題考查兩直線夾角問題，實(shí)際上為考查幾何概型．通過對三個同心圓的考查，通過兩種途徑求出陰影部分的面積，繼而可以求出夾角．屬于難題