Question

已知圓O：x²+y²=1過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩焦點F₁，F(xiàn)₂，過F₁且與x軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為3，過橢圓上任意一點P引圓O的切線PA，PB，A，B為切點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）求三角形PAB面積的取值范圍．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由圓O：x²+y²=1過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的兩焦點F₁，F(xiàn)₂，過F₁且與x軸垂直的直線被橢圓截得的弦長為3，建立方程，求出幾何量，即可求橢圓的方程；
（Ⅱ）先求出直線AB的方程，可得點P到直線AB的距離，AB，求出三角形PAB面積，利用導(dǎo)數(shù)法，即可求三角形PAB面積的取值范圍．

解答： 解：（I）由題意a²-b²=c²=1，橢圓過點（-1，

3

2

），∴

(-1)2

a2

+

( 3 2 )2

b2

=1，
∵a²-b²=1，∴a²4，b²=3，∴橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1．
（II）設(shè)P（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則直線PA的方程為y-y₁=-

x1

y1

(x-x1)，
把x₁²+y₁²=1代入并化簡的直線PA的方程為x₁x+y₁y=1，
由于P（x₀，y₀）在直線PA上，∴x₁x₀+y₁y₀=1，
同理x₂x₀+y₂y₀=1，
∴直線AB的方程為x₀x₁+y₀y₁=1，
點P到直線AB的距離為d=

x02+y02-1

x02+y02

，AB=2

x02+y02-1 x02+y02

令t=

x02+y02-1

，則t=

1 4 x02+2

∵x₀∈[-2，2]，∴t∈[

2

，

3

]，
∴S=f（t）=

1

2

AB•d=

t3

t2+1

，
∴f′（t）=

t4+3t2

(t2+1)2

＞0，
∴f（t）在[

2

，

3

]上單調(diào)遞增，
∴S=f（t）∈[

2 2

3

，

3 3

4

]．

點評：本題考查橢圓方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計算，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，屬于中檔題．