Question

（2012•荊州模擬）某市物價局調查了某種治療流感的常規(guī)藥品在2011年每個月的批發(fā)價格和該藥品在藥店的銷售價格，調查發(fā)現(xiàn)該藥品的批發(fā)價格按月份以每盒12元為中心價隨一正弦曲線f（x）=A₁sin（ω₁x+?₁）+b₁（A₁＞0，ω₁＞0，|?₁|＜π）上下波動，且3月份的批發(fā)價格最高，為每盒14元，7月份的批發(fā)價格最低，為每盒10元；該藥品在藥店的銷售價格按月份以每盒14元為中心價隨另一正弦曲線g（x）=A₂sin（ω₂x+?₂）+b₂（A₂＞0，ω₂＞0，|?₂|＜π）上下波動，且5月份的銷售價格最高，為每盒16元，9月份的銷售價格最低，為每盒12元．
（1）求該藥品每盒的批發(fā)價格f（x）和銷售價格g（x）關于月份x的函數(shù)關系式；
（2）假設某藥店每月初都購進這種藥品c盒，且當月售完，那么該藥店在2011年哪些月份是盈利的？說明理由．

Answer 1

分析：（1）求解正弦曲線f（x）=A₁sin（ω₁x+?₁）+b₁、g（x）=A₂sin（ω₂x+?₂）+b₂，關鍵是根據最值確定A₁，A₂、b₁、b₂的值，根據周期確定ω₁、ω₂的值，再根據最高點確定出?₁、?₂的值；
（2）先構建函數(shù)y=c[g(x)-f(x)]=2c(1-

2

sin

π

4

x)，根據y＞0，解不等式即可得出結論．

解答：解：（1）由已知，b1=12，A1=

14-10

2

=2，又周期T₁=2（7-3）=8，則ω1=

π

4

，
從而f(x)=2sin(

π

4

x+?1)+12，
因為f（3）=14，所以2sin(

3π

4

+?1)+12=14，
所以sin(

3π

4

+?1)=1
又|?₁|＜π，即取?1=-

π

4

，批發(fā)價格函數(shù)為f(x)=2sin(

π

4

x-

π

4

)+12…（4分）
同理，銷售價格函數(shù)為g(x)=2sin(

π

4

x-

3π

4

)+14…（6分）
（2）設該藥店第x月購進這種藥品c盒所獲利潤為y元，則y=c[g(x)-f(x)]=2c(1-

2

sin

π

4

x)．
由y＞0得1-

2

sin

π

4

x＞0，即sin

π

4

＜

2

2

，
所以2kπ+

3π

4

＜

π

4

x＜2kπ+

9π

4

(k∈Z)，即8k+3＜x＜8k+9，k∈Z，
因為x≤12且x∈N^*，則x的值為4，5，6，7，8，12…（12分）

點評：本題考查三角函數(shù)解析式的確定，考查利用三角函數(shù)模型解決實際問題，正確求出三角函數(shù)解析式是解題的關鍵．