Question

已知圓O：x²+y²=8交x軸于A，B兩點，曲線C是以AB為長軸，直線l：x=-4為準線的橢圓．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若M是直線l上的任意一點，以OM為直徑的圓K與圓O相交于P，Q兩點，求證：直線PQ必過定點E，并求出點E的坐標．

Answer 1

分析：（1）因為A，B兩點是圓O：x²+y²=8與x軸的交點，所以坐標可知，橢圓的長軸長也就可知，a就能求出，再根據(jù)x=-4為橢圓準線，得到c值，再用a，b，c的關系式求出b值即可．
（2）先根據(jù)M點的坐標設出以OM為直徑的圓K的方程，與圓O方程聯(lián)立，消去x²，y²，在判斷所得的直線方程是否過定點即可．

解答：解：（1）設橢圓的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，則：

a=2 2 a2 c =4

，從而：

a=2 2 c=2

，故b=2，所以橢圓的標準方程為

x2

8

+

y2

4

=1．
（2）設M（-4，m），則圓K方程為(x+2)2+(y-

m

2

)2=

m2

4

+4與圓O：x²+y²=8聯(lián)立消去x²，y²得PQ的方程為4x-my+8=0，過定點E（-2，0）

點評：本題考查了橢圓方程的求法，以及圓與圓位置關系的判斷，屬于圓錐曲線與圓的綜合題．