Question

11．在四面體PABC中，PA=PB=PC=5，AB=BC=AC=6，點E、F、G都是所在邊的中點，E、F、G這三點所確定的平面與直線AB相交于點D．
（1）證明：點D是線段AB的中點；
（2）求異面直線PD與BC所成的角的大小．

Answer 1

分析 （1）由已知得EF∥BC，從而BC∥平面EFG．從而DG∥BC．由此得到AD=DB，從而能證明點D是線段AB的中點．
（2）連PG，由（1）知DG∥BC，∠PDG的大小等于異面直線PD與BC所成角的大小或其補角的大小，由此能求出異面直線PD與BC所成的角大�。�

解答 證明：（1）∵PE=EB，PF=FC，∴EF∥BC，
∴BC∥平面EFG．
又由BC∥平面EFG，過BC作平面ABC與平面EFG相交交線為DG，
則DG∥BC．
∵AG=GC，∴AD=DB，點D是線段AB的中點．…（4分）
解：（2）連PG，由（1）知DG∥BC，
∠PDG的大小等于異面直線PD與BC所成角的大小或其補角的大�。�…（6分）
在△PDG中，DG=3，$PD=PG=\sqrt{{5^2}-{3^2}}=4$，
$cos∠PDG=\frac{1.5}{4}=\frac{3}{8}$，$∠PDG=arccos\frac{3}{8}$．
∴異面直線PD與BC所成的角大小等于$arccos\frac{3}{8}$．…（8分）

點評 本題考查異面直線所成角的大小的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．