Question

已知實數(shù)x、y滿足方程x²+y²-4x+1=0．求
（1）

y

x

的最大值和最小值；
（2）y-x的最小值；
（3）x²+y²的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）整理方程可知，方程表示以點（2，0）為圓心，以

3

為半徑的圓，設(shè)

y

x

=k，進(jìn)而根據(jù)圓心（2，0）到y(tǒng)=kx的距離為半徑時直線與圓相切，斜率取得最大、最小值．
（2）設(shè)y-x=b，僅當(dāng)直線y=x+b與圓切于第四象限時，縱軸截距b取最小值．進(jìn)而利用點到直線的距離求得y-x的最小值；
（3）x²+y²是圓上點與原點距離之平方，故連接OC，與圓交于B點，并延長交圓于C′，進(jìn)而可知x²+y²的最大值和最小值分別為|OC′|和|OB|，答案可得．

解答：解：（1）如圖，方程x²+y²-4x+1=0表示以點（2，0）為圓心，以

3

為半徑的圓．
設(shè)

y

x

=k，即y=kx，由圓心（2，0）到y(tǒng)=kx的距離為半徑時直線與圓相切，
斜率取得最大、最小值．由

|2k-0|

k2+1

=

3

，
解得k²=3．
所以k_max=

3

，k_min=-

3

．
（2）設(shè)y-x=b，則y=x+b，僅當(dāng)直線y=x+b與圓切于第四象限時，縱軸截距b取最小值．
由點到直線的距離公式，得

|2-0+b|

2

=

3

，即b=-2±

6

，
故（y-x）_min=-2-

6

．
（3）x²+y²是圓上點與原點距離之平方，故連接OC，與圓交于B點，并延長交圓于C′，可知B到原點的距離最近，點C′到原點的距離是大，此時有OB=

x2+y2

=2-

3

，OC′=

x2+y2

=2+

3

，
則（x²+y²）_max=|OC′|²=7+4

3

，（x²+y²）_min=|OB|²=7-4

3

．

點評：本題主要考查了圓的方程的綜合運用．考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化和化歸的思想和數(shù)形結(jié)合的思想．