Question

如圖，線段AB過y軸上一點N(0，m)，AB所在直線的斜率為k(k≠0)，兩端點A、B到y(tǒng)軸的距離之差為4k.

(Ⅰ)求出以y軸為對稱軸，過A、O、B三點的拋物線方程；

(Ⅱ)過拋物線的焦點F作動弦CD，過C、D兩點分別作拋物線的切線，設(shè)其交點為M，求點M的軌跡方程，并求出的值.

 

Answer 1

解：(Ⅰ)設(shè)AB所在直線方程為y=kx+m，拋物線方程為x²=2py，且A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

不妨設(shè)x₁＞0，x₂＜0 ．∴|x₁|-|x₂|=4k  即x₁+x₂=4k把y=kx+m代入x²=2py得x²-2pkx-2pm=0

∴x₁+x₂=2pk  ∴2pk=4k ∴p=2故所求拋物線方程為x²=4y 

(Ⅱ)設(shè)C(x₃，)，D(x₄，)

過拋物線上C、D兩點的切線方程分別是y=，y=

∴兩條切線的交點M的坐標(biāo)為()

設(shè)CD的直線方程為y=nx+1，代入x²=4y得x²-4nx-4=0

∴x₃x₄=-4  故M的坐標(biāo)為(，-1) 

故點M的軌跡為y=-1.

∵=(x₃，)  =(x₄，)

∴·=x₃x₄+·-()+1=x₃x₄+1-()+1=-()-2

而+(-1-1)²=

故=-1