Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= ，其中a，b，c∈R．
（1）若a=b=c=1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若b=c=1，且當x≥0時，f（x）≥1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1，b=1，c=1，f′（x）= ，

∴0＜x＜1，f′（x）＜0，x＜0或x＞1時，f′（x）＞0，

∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是（0，1），單調(diào)增區(qū)間是（﹣∞，0），（1，+∞）

（2）解：若b=c=1，且當x≥0時，f（x）≥1總成立，則a≥0．

a=0，f（x）= ，f′（x）= ≥0，

∴f（x）min=f（0）=1；

a＞0，f′（x）= ，

0＜a≤ ，f（x）min=f（0）=1；a≥ ，f（x）在[0， ]上為減函數(shù)，

在[ ，+∞）上為增函數(shù)，

f（x）min＜f（0）=1，不成立，

綜上所述，0≤a≤

【解析】（1）若a=1，b=1，c=1，求導數(shù)，利用導數(shù)的正負，求f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）若b=c=1，且當x≥0時，f（x）≥1總成立，先確定a≥0，在分類討論，確定函數(shù)的最小值，即可求實數(shù)a的取值范圍；
【考點精析】掌握利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的最大(小)值與導數(shù)是解答本題的根本，需要知道一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減；求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數(shù)在內(nèi)的極值；（2）將函數(shù)的各極值與端點處的函數(shù)值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．