Question

6．已知F₁（-2，0），F(xiàn)₂（2，0）直線l：x+y-4=0，點(diǎn)P在直線l上，則過點(diǎn)P以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)且長軸最短的橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1．

Answer 1

分析 設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），依題意可得c的值，進(jìn)而求得b與a的關(guān)系，將直線方程代入橢圓方程得到一個二次方程．因直線與橢圓有交點(diǎn)，可知△≥0進(jìn)而求出a的取值范圍，進(jìn)而求出a的最小值，求出此時的橢圓方程．

解答 解：設(shè)橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
∵c=2，∴b²=a²-c²=a²-4，
將直線方程y=-x+4代入橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，可得
（a²-4）x²+a²（x²-8x+16）=a²（a²-4），
即（2a²-4）x²-8a²x+20a²-a⁴=0，
∵直線與橢圓有公共點(diǎn)，
∴△=（8a²）²-4（2a²-4）（20a²-a⁴）
=4a²[16a²-（40a²-2a⁴-80-4a²）]
=4a²（2a⁴-28a²+80）
=8a²（a²-10）（a²-4）≥0，
∵a²＞c²=4，∴a²≥10，當(dāng)a²=10時，b²=a²-4=6
∴長軸最短的橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{10}$+$\frac{{y}^{2}}{6}$=1．

點(diǎn)評 本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及橢圓與直線的問題．用方程解的情況來判斷，從方程角度看，主要是一元二次方程根的判別式△≥0．