Question

設拋物線C：x²=2py（p＞0）的焦點為F，A（x₀，y₀）（x₀≠0）是拋物線C上的一定點．
（1）已知直線l過拋物線C的焦點F，且與C的對稱軸垂直，l與C交于Q，R兩點，S為C的準線上一點，若△QRS的面積為4，求p的值；
（2）過點A作傾斜角互補的兩條直線AM，AN，與拋物線C的交點分別為M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．若直線AM，AN的斜率都存在，證明：直線MN的斜率等于拋物線C在點A關(guān)于對稱軸的對稱點A₁處的切線的斜率．

Answer 1

分析：（1）設出F，Q，R的坐標，求出|QR|，利用△QRS的面積為4，可求p的值；
（2）求拋物線C在點A關(guān)于對稱軸的對稱點A₁處的切線的斜率，一種方法是設直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用判別式為0，另一種方法是導數(shù)法；求直線MN的斜率，一種方法是設直線方程與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達定理及斜率公式，可求斜率，另一種方法是利用k_AM=-k_AN，確定斜率，從而可得結(jié)論．

解答：（1）解：由題設F(0，

p

2

)，設Q(x1，

p

2

)，則R(-x1，

p

2

)…（1分）
|QR|=

(x1-(-x1))2+( p 2 - p 2 )2

=2

x12

=2

2p× p 2

=2p．…（2分）
∴由△QRS的面積為4，得：

1

2

×2p×p=4，得：p=2．…（4分）
（2）證明：由題意A₁（-x₀，y₀）…（5分）
首先求拋物線C在點A關(guān)于對稱軸的對稱點A₁處的切線的斜率．
解法一：設拋物線在A₁處的切線的斜率為k，則其方程為y=k（x+x₀）+y₀…（6分）
聯(lián)立

y=k(x+x0)+y0 x2=2py

，消去y得x²-2pkx-2px₀k-2py₀=0
將2py0=x02代入上式得：x2-2pkx-2px0k-x02=0…（7分）
△=(-2pk)2+4(2px0k+x02)=0…（8分）
即p2k2+2px0k+x02=0，即(pk+x0)2=0，得k=-

x0

p

．
即拋物線C在點A關(guān)于對稱軸的對稱點A₁處的切線的斜率為-

x0

p

．…（9分）
解法二：由x²=2py得y=

1

2p

x2，…（6分）
∴y′=

x

p

…（7分）
∴拋物線C在點A關(guān)于對稱軸的對稱點A₁（-x₀，y₀）處的切線的斜率為-

x0

p

．…（9分）
再求直線MN的斜率．
解法一：設直線AM的斜率為k₁，則由題意直線AN的斜率為-k₁．…（10分）
直線AM的方程為y-y₀=k₁（x-x₀），則直線AN的方程為y-y₀=-k₁（x-x₀）．
聯(lián)立

x2=2py y=k1(x-x0)+y0

，消去y得x2-2pk1x+2pk1x0-x02=0…（1）…（11分）
∵方程（1）有兩個根x₀，x₁，∴△=(-2pk1)2-4(2px0k1-x02)＞0
∴x0，1=

2pk1± △

2

，x₀+x₁=2pk₁，即x₁=2pk₁-x₀，同理可得x₂=-2pk₁-x₀…（12分）
直線MN的斜率kMN=

y2-y1

x2-x1

=

x22 2p - x12 2p

x2-x1

=

x1+x2

2p

=

-2x0

2p

=-

x0

p

．…（13分）
∴直線MN的斜率等于拋物線C在點A關(guān)于對稱軸的對稱點A₁處的切線的斜率．…（14分）
解法二：∵k_AM=-k_AN…（10分）
∴

y0-y1

x0-x1

=-

y0-y2

x0-x2

…（11分）
將y0=

x02

2p

，y1=

x12

2p

，y2=

x22

2p

分別代入上式得：

x02 2p - x12 2p

x0-x1

=-

x02 2p - x22 2p

x0-x2

，
整理得2x₀=x₁+x₂．…（12分）
∴直線MN的
斜率kMN=

y2-y1

x2-x1

=

x22 2p - x12 2p

x2-x1

=

x1+x2

2p

=

-2x0

2p

=-

x0

p

．…（13分）
∴直線MN的斜率等于拋物線C在點A關(guān)于對稱軸的對稱點A₁處的切線的斜率．…（14分）

點評：本小題主要考查直線、拋物線、對稱等知識，考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化、方程的思想方法，考查數(shù)學探究能力以及運算求解能力．