如圖所示,拋物線C1:x2=4y,C2:x2=-2py(p>0).點(diǎn)M(x0,y0)在拋物線C2上,過M作C1的切線,切點(diǎn)為A,B(M為原點(diǎn)O時(shí),A,B重合于O).當(dāng)x0=1-時(shí),切線MA的斜率為-.

(1)求p的值;
(2)當(dāng)M在C2上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段AB中點(diǎn)N的軌跡方程(A,B重合于O時(shí),中點(diǎn)為O).

(1)2   (2) x2=y

解析解:(1)因?yàn)閽佄锞�C1:x2=4y上任意一點(diǎn)(x,y)的切線斜率為y′=,且切線MA的斜率為-,
所以A點(diǎn)坐標(biāo)為.
故切線MA的方程為y=-(x+1)+ .
因?yàn)辄c(diǎn)M(1-y0)在切線MA及拋物線C2上,于是
y0=-(2-)+=-,                   ①
y0=-=-.                       ②
由①②得p=2.
(2)設(shè)N(x,y),A,B,
x1≠x2,由N為線段AB中點(diǎn)知
x=,                                       ③
y=.                                       ④
切線MA,MB的方程為
y=(x-x1)+  ,                                 ⑤
y=(x-x2)+  .                                 ⑥
由⑤⑥得MA,MB的交點(diǎn)M(x0,y0)的坐標(biāo)為
x0=,y0=.
因?yàn)辄c(diǎn)M(x0,y0)在C2上,
即=-4y0,
所以x1x2=-.                                ⑦
由③④⑦得
x2=y,x≠0.
當(dāng)x1=x2時(shí),A,B重合于原點(diǎn)O,AB中點(diǎn)N為O,坐標(biāo)滿足x2=y.
因此AB中點(diǎn)N的軌跡方程為x2=y.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A為橢圓＝1的右頂點(diǎn)，點(diǎn)D(1，0)，點(diǎn)P、B在橢圓上，＝.
 
(1) 求直線BD的方程；
(2) 求直線BD被過P、A、B三點(diǎn)的圓C截得的弦長(zhǎng)；
(3) 是否存在分別以PB、PA為弦的兩個(gè)相外切的等圓？若存在，求出這兩個(gè)圓的方程；若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C:+=1(a>b>0)的焦距為4,且過點(diǎn)P(,).
(1)求橢圓C的方程;
(2)設(shè)Q(x0,y0)(x0y0≠0)為橢圓C上一點(diǎn).過點(diǎn)Q作x軸的垂線,垂足為E.取點(diǎn)A(0,2),連接AE,過點(diǎn)A作AE的垂線交x軸于點(diǎn)D.點(diǎn)G是點(diǎn)D關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn),作直線QG,問這樣作出的直線QG是否與橢圓C一定有唯一的公共點(diǎn)?并說明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知拋物線C頂點(diǎn)為原點(diǎn),其焦點(diǎn)F(0,c)(c>0)到直線l:x-y-2=0的距離為,設(shè)P為直線l上的點(diǎn),過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA,PB,其中A,B為切點(diǎn).
(1)求拋物線C的方程;
(2)當(dāng)點(diǎn)P(x0,y0)為直線l上的定點(diǎn)時(shí),求直線AB的方程;
(3)當(dāng)點(diǎn)P在直線l上移動(dòng)時(shí),求|AF|·|BF|的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知點(diǎn)在橢圓:上，以為圓心的圓與軸相切于橢圓的右焦點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點(diǎn)，設(shè)是橢圓上的一點(diǎn)，過、兩點(diǎn)的直線交軸于點(diǎn),若, 求直線的方程;
（3）作直線與橢圓:交于不同的兩點(diǎn),,其中點(diǎn)的坐標(biāo)為,若點(diǎn)是線段垂直平分線上一點(diǎn),且滿足,求實(shí)數(shù)的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知E(2,2)是拋物線C:y2=2px上一點(diǎn),經(jīng)過點(diǎn)(2,0)的直線l與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)(不同于點(diǎn)E),直線EA,EB分別交直線x=-2于點(diǎn)M,N.
(1)求拋物線方程及其焦點(diǎn)坐標(biāo);
(2)已知O為原點(diǎn),求證:∠MON為定值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上且過點(diǎn)P，離心率是.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)直線l過點(diǎn)E (－1,0)且與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，若|EA|＝2|EB|，求直線l的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

己知⊙O：x2+y2=6，P為⊙O上動(dòng)點(diǎn)，過P作PM⊥x軸于M，N為PM上一點(diǎn)，且．
（1）求點(diǎn)N的軌跡C的方程；
（2）若A(2，1)，B(3，0)，過B的直線與曲線C相交于D、E兩點(diǎn)，則是否為定值？若是，求出該值；若不是，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

如圖，橢圓的左焦點(diǎn)為，右焦點(diǎn)為，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)， 的周長(zhǎng)為8，且面積最大時(shí)，為正三角形．

（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)動(dòng)直線與橢圓有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，且與直線相交于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在以為直徑的圓上.

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