Question

（理科）設函數f（x）的定義域為R，若存在常數 M＞0，使|f(x)|≤M|x|對一切實數 x均成立，則f（x）為β函數．現給出如下4個函數：（1）f（x）=0；f（x）=x²；f（x）=

2

（sinx+cosx）；f（x）=

x

x2+x+1

．其中是β函數的序號是

（1）（4）

．

Answer 1

分析：對于（1）取M＞0的任意一值都符合定義，對于（2）不存在這樣的M滿足定義，對于（3）由于x=0時，|f（x）|≤M|x|不成立，不滿足定義，對于（4），|f（x）|=

1

x2+x+1

|x|≤

4

3

|x|，故對任意的M≥

4

3

滿足定義，可得結論．

解答：解：由題意
對于（1）f（x）=0，顯然對任意常數M＞0，均成立，故f（x）為β函數；
對于（2），|f（x）|≤M|x|，顯然不成立，故其不是β函數；
對于（3），f(x)=

2

(sinx+cosx)，由于x=0時，|f（x）|≤M|x|不成立，故不是β函數；
對于（4），f(x)=

x

x2+x+1

，|f（x）|=

1

x2+x+1

|x|≤

4

3

|x|，故對任意的M≥

4

3

，都有|f（x）|≤M|x|，故是β函數；
故答案為：（1）（4）

點評：本題主要考查了函數恒成立問題，主要考查根據所給的新定義來驗證函數是否滿足定義中的規(guī)則，屬于中檔題．