Question

已知拋物線C₁：y²=4px（p＞0），焦點為F₂，其準線與x軸交于點F₁；橢圓C₂：分別以F₁、F₂為左、右焦點，其離心率e=

1

2

；且拋物線C₁和橢圓C₂的一個交點記為M．
（1）當p=1時，求橢圓C₂的標準方程；
（2）在（1）的條件下，若直線l經過橢圓C₂的右焦點F₂，且與拋物線C₁相交于A，B兩點，若弦長|AB|等于△MF₁F₂的周長，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）m=1時，求出焦點坐標以及a，b 的值，寫出橢圓方程．
（2）由于△PF₁F₂周長為 2a+2c=6，故弦長|A₁A₂|=6，用點斜式設出直線L的方程，代入拋物線方程化簡，得到根與系數(shù)的關系，代入弦長公式求出斜率 k的值．

解答：解：（1）當p=1時，F(xiàn)₂（1，0），F(xiàn)₁（-1，0）
設橢圓C₂的標準方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），∴c=1，

c

a

=

1

2

∵c²=a²-b²，∴a=2，b=

3

故橢圓C₂的標準方程為

x2

4

+

y2

3

=1..（4分）
（2）（ⅰ）若直線l的斜率不存在，則l：x=1，且A（1，2），B（1，-2），∴|AB|=4
又∵△MF₁F₂的周長等于|MF₁|+|MF₂|+|F₁F₂|=2a+2c=6≠|AB|
∴直線l的斜率必存在．（6分）
（ⅱ）設直線l的斜率為k，則l：y=k（x-1）
由

y2=4x y=k(x-1)

，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
∵直線l與拋物線C₁有兩個交點A，B
∴△=[-（2k²+4）]²-4k⁴=16k²+16＞0，且k≠0
設則可得x1+x2=

2k2+4

k2

，x₁x₂=1
于是|AB|=

1+k2

|x1-x2|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[(2+ 4 k2 )2-4]

=

(1+k2)( 16 k2 + 16 k4 )

=

4(1+k2)

k2

∵△MF₁F₂的周長等于|MF₁|+|MF₂|+|F₁F₂|=2a+2c=6
∴由

4(1+k2)

k2

=6，解得k=±

2

故所求直線l的方程為y=±

2

(x-1)．（12分）

點評：本題考查拋物線和橢圓的標準方程和簡單性質，弦長公式的應用，設出直線l的斜率為k，表示出△PF₁F₂的邊長是解題的難點．