Question

已知向量，，設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，其中ω為常數(shù)，且ω∈（0，1）．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）若將y=f（x）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，再將所得圖象向右平移個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=h（x）的圖象，若關(guān)于x的方程h（x）+k=0在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用向量的數(shù)量積公式化簡(jiǎn)函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，且ω∈（0，1），即可求得函數(shù)f（x）的表達(dá)式；
（Ⅱ）確定h（x）=2sin（2x-），關(guān)于x的方程h（x）+k=0在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，等價(jià)于2sint+k=0在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，由此可得結(jié)論．
解答：解：（Ⅰ）∵向量，，
∴=（cos²ωx-sin²ωx，sinωx）•=cos2ωx+sin2ωx=2sin（2ωx+）
∵函數(shù)圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，∴2sin（πω+）=±2
∴πω+=kπ+（k∈Z），即ω=k+（k∈Z）
∵ω∈（0，1），∴k=0，ω=
∴f（x）=2sin（x+）；
（Ⅱ）若將y=f（x）圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的，再將所得圖象向右平移個(gè)單位，縱坐標(biāo)不變，得到y(tǒng)=h（x）=2sin（2x-）的圖象，
令2x-=t，∵x∈，∴
∴關(guān)于x的方程h（x）+k=0在區(qū)間上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，即2sint+k=0在上有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，
即y=2sint，的圖象與y=-k有且只有一個(gè)交點(diǎn)，
∴-＜k≤或k=-2．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查函數(shù)解析式的確定，考查圖象的變換，考查解的問(wèn)題，確定函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．