Question

（2012•衡陽模擬）已知橢圓C的方程為

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0），離心率e=

2

2

，上焦點到直線y=

a2

c

的距離為

2

2

，直線l與y軸交于一點P（0，m），與橢圓C交于相異兩點A，B且

AP

=t

PB

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若

OA

+t

OB

=4

OP

，求m的取值范圍•

Answer 1

分析：（1）根據(jù)橢圓離心率e=

2

2

，焦點到直線y=

a2

c

的距離為

2

2

，可求橢圓的幾何量，從而可得橢圓C的方程；
（2）先確定t=3，再將直線y=kx+m代入橢圓方程，利用韋達(dá)定理，建立等式關(guān)系，從而可得k2=

2-2m2

4m2-1

，由此可求m的取值范圍．

解答：解：（1）∵橢圓離心率e=

2

2

，焦點到直線y=

a2

c

的距離為

2

2

，
∴

a2

c

-c=

2

2

，

c

a

=

2

2

∴a=1，c=

2

2

∴b2=a2-c2=

2

2

∴橢圓C的方程為y2+

x2

1 2

=1；
（2）∵

AP

=t

PB

，∴（1+t）

OP

=

OA

+t

OB

∵

OA

+t

OB

=4

OP

，∴1+t=4，∴t=3
設(shè)直線l與橢圓交點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線y=kx+m代入橢圓方程，消去y可得（k²+2）x²+2kmx+（m²-1）=0
∴△=（2km）²-4（k²+2）（m²-1）=4（k²-2m²+2）＞0①，x₁+x₂=

-2km

k2+2

，x₁x₂=

m2-1

k2+2

∵

AP

=3

PB

，∴-x₁=3x₂，∴x₁+x₂=-2x₂，x₁x₂=-3x22
∴3（x₁+x₂）²+4x₁x₂=0
∴3（

-2km

k2+2

）²+4×

m2-1

k2+2

=0
∴4k²m²+2m²-k²-2=0
m2=

1

4

時，上述式子不成立，m2≠

1

4

時，k2=

2-2m2

4m2-1

∵t=3，∴k≠0，∴k2=

2-2m2

4m2-1

＞0
∴-1＜m＜-

1

2

或

1

2

＜m＜1
經(jīng)檢驗符合①式
即所求m的取值范圍為（-1，-

1

2

）∪（

1

2

，1）．

點評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查向量知識的運用，正確運用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．