Question

設f（x）=x²+bx+c（b，c∈R），若|x|≤2時，f（x）≥0，且f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值為1，則b²+c²的取值范圍為（　�。�

• A、[32，74]
• B、[24，32]
• C、[36，74]
• D、[24，36]

Answer 1

考點：簡單線性規(guī)劃

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用,不等式的解法及應用

分析：由|x|≤2時，f（x）≥0，且f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值為1，可知f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值只能在閉端點取得，從而得到b≥-5且c=-3b-8，把c代入原函數(shù)解析式，根據(jù)方程f（x）=0有無實根得到b的范圍，然后把b²+c²化為關于b的二次函數(shù)利用配方法求最值．

解答： 解：由題意函數(shù)圖象為開口向上的拋物線，且f（x）在區(qū)間（2，3]上的最大值只能在閉端點取得，
故有f（2）≤f（3）=1，從而-

b

2

≤

5

2

，即b≥-5且c=-3b-8．
若f（x）=0有實根，則△=b²-4c=b²+12b+32≥0，
∵|x|≥2時，f（x）≥0，
∴在區(qū)間[-2，2]有

f(-2)≥0 f(2)≥0 -2≤- b 2 ≤2

，即

4-2b+c≥0 4+2b+c≥0 -4≤b≤4

，
消去c，解出

b≤- 4 5 b≤-4 -4≤b≤4

，
即b=-4，這時c=4，且△=0．
若f（x）=0無實根，則△=b²-4c＜0，將c=-3b-8代入解得-8＜b＜-4．
綜上-5≤b≤-4．
∴b²+c²=b²+（-3b-8）²=10b²+48b+64=10(b+

12

5

)2+

32

5

．
∴b²+c²在[-5，-4]上的最小值為10(-4+

12

5

)2+

32

5

=32．
最大值為10(-5+

12

5

)2+

32

5

=74．
故選：A．

點評：本題考查了二次函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查了二次函數(shù)根的分布，著重考查了數(shù)學轉(zhuǎn)化思想方法，考查了學生靈活分析問題和解決問題的能力，屬中高檔題．