Question

設(shè)函數(shù)f（x）=2sinx-cosx．
（1）若x₀是函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，求cos2x₀的值；
（2）若x₀是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，求sin2x₀的值．

Answer 1

解：（1）∵x₀是函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，∴2sinx₀-cosx₀=0，從而．
∴
（2）f'（x）=2cosx+sinx，
∵x₀是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)
∴f′（x₀）=0，
∴2cosx₀+sinx₀=0，從而．
∴
分析：（1）x₀是函數(shù)f（x）的一個(gè)零點(diǎn)，即2sinx₀-cosx₀=0，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式得，利用二倍角公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式將cos2x₀變換為二次齊次式，分子分母同除以cos²x₀，代入即可
（2）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），因?yàn)閤₀是函數(shù)f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)，所以f′（x₀）=0，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系式得，利用二倍角公式及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式將sin2x₀變換為二次齊次式，分子分母同除以cos²x₀，代入即可
點(diǎn)評(píng)：本題考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及其應(yīng)用，二倍角公式，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)極值的關(guān)系，整體代入求值的思想方法