Question

命題p：關(guān)于x的不等式x²+2ax+4＞0對(duì)于一切x∈R恒成立，命題q：?x∈[1，2]，x²-a≥0，若p∨q為真，p∧q為假．求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)我們可以求出命題p：關(guān)于x的不等式x²+2ax+4＞0對(duì)于一切x∈R恒成立時(shí)，及命題q：?x∈[1，2]，x²-a≥0時(shí)，a的取值范圍，根據(jù)p∨q為真，p∧q為假，結(jié)合復(fù)合命題的真值表，可得p、q一真一假，分類討論后可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答：解：設(shè)g（x）=x²+2ax+4，由于關(guān)于x的不等式x²+2ax+4＞0對(duì)于一切x∈R恒成立，
所以函數(shù)g（x）的圖象開(kāi)口向上且與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，
故△=4a²-16＜0，
∴-2＜a＜2．…（2分）
若q為真命題，a≤x²恒成立，即a≤1．…（4分）
由于p或q為真，p且q為假，可知p、q一真一假．…（5分）
①若p真q假，則

-2＜a＜2 a＞1

∴1＜a＜2；…（7分）
②若p假q真，則

a≤-2 a＜1

∴a≤-2；…（9分）
綜上可知，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是{a|1＜a＜2或a≤-2}…（10分）

點(diǎn)評(píng)：本題以復(fù)合命題的真假判斷為載體考查了二次不等式恒成立問(wèn)題，其中根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，分別求出對(duì)應(yīng)的a值，是解答本題的關(guān)鍵．