Question

在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，短軸長(zhǎng)為2，離心率為.
(1)求橢圓C的方程；
(2)A，B為橢圓C上滿足△AOB的面積為的任意兩點(diǎn)，E為線段AB的中點(diǎn)，射線OE交橢圓C于點(diǎn)P.設(shè)＝t，求實(shí)數(shù)t的值．

Answer 1

（1）＋y²＝1（2）t＝2或t＝

(1)設(shè)橢圓C的方程為＝1(a＞b＞0)，
由題意知解得 
因此橢圓C的方程為＋y²＝1.
(2)(ⅰ)當(dāng)A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱時(shí)，設(shè)直線AB的方程為x＝m.
由題意得－＜m＜0或0＜m＜.
將x＝m代入橢圓方程＋y²＝1，得|y|＝.
所以S_△AOB＝|m|·＝.解得m²＝或m²＝.①
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824040151452381.png" style="vertical-align:middle;" />＝t＝t(＋)＝t(2m,0)＝(mt,0)，
又P為橢圓C上一點(diǎn)，所以＝1.②
由①②，得t²＝4或t²＝，
又t＞0，所以t＝2或t＝.
(ⅱ)當(dāng)A，B兩點(diǎn)關(guān)于x軸不對(duì)稱時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋h.
將其代入橢圓的方程＋y²＝1，得
(1＋2k²)x²＋4khx＋2h²－2＝0.設(shè)A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)．
由判別式Δ＞0可得1＋2k²＞h²，
此時(shí)x₁＋x₂＝－，x₁x₂＝，
y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)＋2h＝，
所以|AB|＝.
因?yàn)辄c(diǎn)O到直線AB的距離d＝，
所以S_△AOB＝|AB|d＝×2×××＝××|h|.
又S_△AOB＝，所以××|h|＝.③
令n＝1＋2k²，代入③整理得3n²－16h²n＋16h⁴＝0.
解得n＝4h²或n＝h²，即1＋2k²＝4h²或1＋2k²＝h².④
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824040151452381.png" style="vertical-align:middle;" />＝t＝t(＋)＝t(x₁＋x₂，y₁＋y₂)＝，
又P為橢圓C上一點(diǎn)，
所以t²＝1，即＝1.⑤
將④代入⑤，得t²＝4或t²＝.
又t＞0，故t＝2或t＝.
經(jīng)檢驗(yàn)，適合題意．
綜合(ⅰ)(ⅱ)，得t＝2或t＝