Question

近日，國家經(jīng)貿(mào)委發(fā)出了關(guān)于深入開展增產(chǎn)節(jié)約運動，大力增產(chǎn)市場適銷對路產(chǎn)品的通知，并發(fā)布了當(dāng)前國內(nèi)市場185種適銷工業(yè)品和42種滯銷產(chǎn)品的參考目錄．為此，一公司舉行某產(chǎn)品的促銷活動，經(jīng)測算該產(chǎn)品的銷售量P萬件（生產(chǎn)量與銷售量相等）與促銷費用x萬元滿足(其中，a為正常數(shù))．已知生產(chǎn)該產(chǎn)品還需投入成本10+2P萬元(不含促銷費用)，產(chǎn)品的銷售價格定為元／件．
(1)將該產(chǎn)品的利潤y萬元表示為促銷費用x萬元的函數(shù)；
(2)促銷費用投入多少萬元時，廠家的利潤最大．

Answer 1

（1），（）.
（2）當(dāng)時,促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大;
當(dāng)時,促銷費用投入萬元時，廠家的利潤最大 .

試題分析：（1）由題意得到， 將代入化簡即得
，（）.
（2）將原函數(shù)變形，應(yīng)用基本不等式，，
當(dāng)且僅當(dāng)時，上式取等號.根據(jù)，討論，,的不同情況，確定最大利潤.
試題解析：（1）由題意知， ，  
將代入化簡得：
，（），                               6分
（2），
當(dāng)且僅當(dāng)時，上式取等號.                       9分
當(dāng)時,促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大;
當(dāng)時,在上單調(diào)遞增,所以在時,函數(shù)有最大值．促銷費用投入萬元時，廠家的利潤最大 .
綜上述,當(dāng)時,促銷費用投入1萬元時，廠家的利潤最大;
當(dāng)時,促銷費用投入萬元時，廠家的利潤最大 .                  12分