Question

以橢圓x²+a²y²=a²(a＞1)的一個(gè)頂點(diǎn)C(0,1)為直角頂點(diǎn)作此橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC,試問(wèn):這樣的等腰直角三角形是否存在?若存在,最多有幾個(gè)?若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

分析：這樣的等腰直角三角形一定存在,這是可以看出來(lái)的;過(guò)C分別作傾斜角為45°、135°的直線與橢圓分別交于A、B兩點(diǎn),由橢圓的對(duì)稱性可知,△ABC為等腰直角三角形.至于除這個(gè)三角形外還有沒(méi)有,只要求過(guò)C點(diǎn)的互相垂直且相等的弦共有幾對(duì)即可.

解：不妨設(shè)A、B兩點(diǎn)分居于y軸的左、右兩側(cè),設(shè)CA的斜率為k,

    則k＞0,CA所在直線的方程為y=kx+1.

    代入橢圓方程并整理得(a²k²+1)x²+2a²kx=0.

∴x=0或x=-.

∴A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-.

∴|CA|=.

    同理,|CB|=.

    由|CA|=|CB|得,

∴(k-1)［k²-(a²-1)k+1］=0.                               (*)

    當(dāng)1＜a＜時(shí),k=1,k²-(a²-1)k+1=0無(wú)實(shí)數(shù)解.

    當(dāng)a=時(shí),(*)的解k=1,k²-(a²-1)k+1=0的解也是k=1.

    當(dāng)a＞時(shí),(*)的解除k=1外,方程k²-(a²-1)k+1＞0有兩個(gè)不等的正根,且都不等于1,故(*)有三個(gè)正根.

∴符合題意的等腰直角三角形一定存在,在1＜a≤時(shí)只有一個(gè),當(dāng)a＞時(shí),共有3個(gè).

∴最多有3個(gè).