Question

（本小題滿分12分）

設(shè)函數(shù)

(Ⅰ) 當(dāng)時，求函數(shù)的最大值；

(Ⅱ)當(dāng)，，方程有唯一實數(shù)解，求正數(shù)的值．

 

Answer 1

【答案】

(1) 的極大值為，此即為最大值；(2) 。

【解析】

試題分析：(1)依題意，知的定義域為(0，＋∞)，當(dāng)時，，

……………2分

令＝0，解得．(∵)

當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減．

所以的極大值為，此即為最大值 ……………4分

(2)因為方程有唯一實數(shù)解，所以有唯一實數(shù)解，

設(shè)，則．令，．

因為，， 所以(舍去)，，……  6分

當(dāng)時，，在(0，)上單調(diào)遞減，

當(dāng)時，，在(，＋∞)單調(diào)遞增

當(dāng)時，＝0，取最小值．

則既……………10分

所以，因為，所以(*)

設(shè)函數(shù)，因為當(dāng)時，是增函數(shù)，所以至多有一解．

因為，所以方程(*)的解為，即，解得………12分

(直接看出x=1時，m=1/2但未證明唯一性的給3分)

考點：本題主要考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值及方程解的情況。

點評：典型題，本題屬于導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中的基本問題，通過研究函數(shù)的單調(diào)性，明確了極值情況。通過研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、最值情況，得出方程解的存在情況。涉及對數(shù)函數(shù)，要特別注意函數(shù)的定義域。