Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且（n∈N^*）．?dāng)?shù)列{b_n}是等差數(shù)列，且b₂=a₂，b₂₀=a₄．
（1）求證：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和T_n；
（3）若不等式（a＞0且a≠1）對(duì)一切n∈N^*恒成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）由，①當(dāng)n≥2時(shí)，，②
兩式相減得，即a_n=3a_n-1-2，（1分）
當(dāng)n≥2時(shí)，為定值，（2分）
所以數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，公比是3，（3分）
（2）由，令n=1，得a₁=-2． 所以數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，公比是3，首項(xiàng)為-3．
∴a_n-1=-3×3^n-1，即a_n-1=-3ⁿ．（4分）∴b₂=-8，b₂₀=-80．
由{b_n}是等差數(shù)列，求得b_n=-4n（5分）
∵=，
而，
相減得，即，
則 ．（8分）
（3）令則=（9分）∴
=（10分）
∴當(dāng)n＞5時(shí)P_n+1-P_n＞0此時(shí)P_n單調(diào)遞增；（11分）
∵當(dāng)n＞5時(shí)，-n²+7n-12＜0從而＜3∴當(dāng)n＞5時(shí)，P_n＜3
∵P₁=3-1=2，，P₃=P₄=3，
∴當(dāng)n∈N^*時(shí)，P_n的最大值為3（13分）
∵不等式（a＞0且a≠1）對(duì)一切n∈N^*恒成立∴l(xiāng)og_ax＞3．（14分）
故當(dāng)a＞1時(shí)，x≥a³；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，0＜x≤a³．（16分）
分析：（1）由 ，知 ，兩式相減得，由此能夠?qū)С鰯?shù)列{a_n-1}是公比是3，首項(xiàng)為-3的等比數(shù)列．
（2）先求得到a_n-1=-3ⁿ．由{b_n}是等差數(shù)列，求得b_n=-4n．=再由錯(cuò)位相減法能夠得到數(shù)列的前n項(xiàng)和T_n；
（3）令，證明當(dāng)n＞5時(shí)P_n+1-P_n＞0此時(shí)P_n單調(diào)遞增，所以當(dāng)n＞5時(shí)，P_n＜3，又因?yàn)镻₁=3-1=2，，P₃=P₄=3，，所以當(dāng)n∈N^*時(shí)，P_n的最大值為3，從而有l(wèi)og_ax＞3．故可解．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地運(yùn)用錯(cuò)位相減法進(jìn)行解題．