Question

已知函數(shù)f（x）=，x∈[1，+∞）．
（1）當(dāng)a=時(shí)，求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若對任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，試求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）求f（x）的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（1）當(dāng)a=時(shí)，f（x）=x++2，求導(dǎo)函數(shù)，可得f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，從而可求f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最小值；
（2）在區(qū)間[1，+∞）上，f（x）=＞0恒成立，等價(jià)于x²+2x+a＞0恒成立，即a＞x²+2x（x≥1）恒成立，由此可求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3），x∈[1，+∞），分類討論：當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）遞增；當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）遞增；當(dāng)a＞0時(shí)，利用基本不等式可求函數(shù)的最小值．
解答：解：（1）當(dāng)a=時(shí)，f（x）=x++2
求導(dǎo)函數(shù)，可得
當(dāng)x≥1時(shí)，f′（x）＞0
∴f（x）在區(qū)間[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最小值為f（1）=
（2）在區(qū)間[1，+∞）上，f（x）=＞0恒成立，等價(jià)于x²+2x+a＞0恒成立
即a＞-（x²+2x）（x≥1）恒成立，
∵函數(shù)y=-（x²+2x）（x≥1）的最大值為-3
∴a＞-3
（3），x∈[1，+∞）
當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)f（x）遞增，故當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_min=3+a，
當(dāng)0＜a＜1時(shí)，函數(shù)f（x）遞增，故當(dāng)x=1時(shí)，f（x）_min=3+a，
當(dāng)a＞0時(shí)，≥（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號），f（x）_min=．
點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)知識的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性，考查恒成立問題，考查函數(shù)的最值，正確分類討論是關(guān)鍵．