Question

【題目】已知函數(shù)（）.

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）試問：函數(shù)圖像上是否存在不同兩點，使得在處的切線平行于直線，若存在，求出的坐標，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明見解析.

【解析】試題分析：

（1）結(jié)合函數(shù)的解析式可得，據(jù)此可得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

（2）假設(shè)存在兩點，不妨設(shè)，則，且函數(shù)在處的切線斜率，據(jù)此整理計算有： ，令，則，則：，，利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)可得在內(nèi)不存在，使得 ，則函數(shù)圖象上是不存在滿足題意的點.

試題解析：

（1）由，又 得

故，當(dāng)時，，當(dāng)時，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2）假設(shè)存在兩點，不妨設(shè)，則：

，

，

故=，

在函數(shù)圖象處的切線斜率，

得： ，

化簡得：， ，

令，則，上式化為：，即，

若令，，

由， 在上單調(diào)遞增，，

這表明在內(nèi)不存在，使得 .

綜上，函數(shù)圖象上是不存在不同兩點，使得 在處的切線平行于直線.