Question

定義在R上的函數(shù)y=f（x），滿足f（4-x）=f（x），（x-2）f′（x）＜0，若x₁＜x₂，且x₁+x₂＞4，則有（ ）
A．f（x₁）＜f（x₂）
B．f（x₁）＞f（x₂）
C．f（x₁）=f（x₂）
D．不確定

Answer 1

【答案】分析：由題設(shè)中條件f（4-x）=f（x）可得出函數(shù)關(guān)于x=2對(duì)稱，由（x-2）f′（x）＜0可得出x＞2時(shí)，導(dǎo)數(shù)為正，x＜2時(shí)導(dǎo)數(shù)為負(fù)由此可必出函數(shù)的單調(diào)性利用單調(diào)性比較大小即可選出正確答案
解答：解：由題意f（4-x）=f（x），可得出函數(shù)關(guān)于x=2對(duì)稱
又（x-2）f′（x）＜0，得x＞2時(shí)，導(dǎo)數(shù)為負(fù)，x＜2時(shí)導(dǎo)數(shù)為正，
即函數(shù)在（-∞，2）上是增函數(shù)，在（2，+∞）上是減函數(shù)
又x₁＜x₂，且x₁+x₂＞4，下進(jìn)行討論
若2＜x₁＜x₂，顯然有f（x₁）＞f（x₂）
若x₁＜2＜x₂，有x₁+x₂＞4可得x₁＞4-x₂，故有f（x₁）＞f（4-x₂）=f（x₂）
綜上討論知，在所給的題設(shè)條件下總有f（x₁）＞f（x₂）
故選B
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系以及利用單調(diào)性比較大小，求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷出函數(shù)的單調(diào)性，在比較大小時(shí)根據(jù)所給的條件靈活變形，將兩數(shù)的大小比較轉(zhuǎn)化到一個(gè)單調(diào)區(qū)間上比較也很重要，本題考查了轉(zhuǎn)化化歸的能力．