Question

設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，曲線(xiàn)x²+y²+2x-6y+1=0上有兩點(diǎn)P、Q，滿(mǎn)足關(guān)于直線(xiàn)x+my+4=0對(duì)稱(chēng)，又滿(mǎn)足

OP

•

OQ

=0．
（1）求m的值；
（2）求直線(xiàn)PQ的方程．

Answer 1

分析：（1）曲線(xiàn)x²+y²+2x-6y+1=0上有兩點(diǎn)P、Q，滿(mǎn)足關(guān)于直線(xiàn)x+my+4=0對(duì)稱(chēng)，說(shuō)明曲線(xiàn)是圓，直線(xiàn)過(guò)圓心，易求m的值；
（2）設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程為y=-x+b．聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，以及

OP

•

OQ

=0． 求得k的方程，然后求直線(xiàn)PQ的方程．

解答：解：（1）曲線(xiàn)方程為（x+1）²+（y-3）²=9表示圓心為（-1，3），半徑為3的圓．
∵點(diǎn)P、Q在圓上且關(guān)于直線(xiàn)x+my+4=0對(duì)稱(chēng)，
∴圓心（-1，3）在直線(xiàn)上．代入得m=-1．
（2）∵直線(xiàn)PQ與直線(xiàn)y=x+4垂直，
∴設(shè)P（x₁，y₁）、Q（x₂，y₂），PQ方程為y=-x+b．
將直線(xiàn)y=-x+b代入圓方程，得2x²+2（4-b）x+b²-6b+1=0．
△=4（4-b）²-4×2×（b²-6b+1）＞0，得2-3

2

＜b＜2+3

2

．
由韋達(dá)定理得x₁+x₂=-（4-b），x₁•x₂=

b2-6b+1

2

．
y₁•y₂=b²-b（x₁+x₂）+x₁•x₂=

b2-6b+1

2

+4b．
∵

OP

•

OQ

=0，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
即b²-6b+1+4b=0．
解得b=1∈（2-3

2

，2+3

2

）．
∴所求的直線(xiàn)方程為y=-x+1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線(xiàn)與圓的方程的應(yīng)用，直線(xiàn)的一般式方程，考查函數(shù)與方程的思想，是中檔題．