精英家教網(wǎng)如圖，拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，經(jīng)過(guò)F且斜率為
3
的直線與拋物線在x軸上方的部分相交于點(diǎn)A，AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積是
 
．
分析：先判斷△AKF為等邊三角形，求出A的坐標(biāo)，可求出等邊△AKF的邊長(zhǎng)AK=m+1的值，△AKF的面積可求．
解答：解：由拋物線的定義可得AF=AK，∵AF的斜率等于
3
，∴AF的傾斜角等于60°，∵AK⊥l，
∴∠FAK=60°，故△AKF為等邊三角形．又焦點(diǎn)F（1，0），AF的方程為 y-0=
3
（x-1），
設(shè)A（m，
3
m-
3
），m＞1，由AF=AK 得 
(m-1)2+(
3
m-
3
)2
=m+1，
∴m=3，故等邊三角形△AKF的邊長(zhǎng)AK=m+1=4，
∴△AKF的面積是
1
2
×4×4sin60°=4
3
，
故答案為4
3
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，以及簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，判斷△AKF為等邊三角形是解題的關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖過(guò)拋物線C1：x2=4y的對(duì)稱軸上一點(diǎn)P（0，m）（m＞0）作直線l與拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓為C2．
（1）求證：x1x2為定值；
（2）若l的方程為x-2y+4=0，且C1，C2以及直線l有公共點(diǎn)，求C2的方程；
（3）設(shè)
AP
=λ
PB
，若
QP
⊥(
QA
-μ
QB
)，求證：λ=μ

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

如圖過(guò)拋物線數(shù)學(xué)公式的對(duì)稱軸上一點(diǎn)P（0，m）（m＞0）作直線l與拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓為C2．
（1）求證：x1x2為定值；
（2）若l的方程為x-2y+4=0，且C1，C2以及直線l有公共點(diǎn)，求C2的方程；
（3）設(shè)數(shù)學(xué)公式，若數(shù)學(xué)公式，求證：λ=μ

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋?,1］,且滿足下列條件:

①對(duì)于任意x∈［0,1］,總有f(x)≥3,且f(1)=4;

②若x1≥0,x2≥0,x1+x2≤1,則有f(x1+x2)≥f(x1)+f(x2)-3.

(1)求f(0)的值;

(2)求證:f(x)≤4;

(3)當(dāng)x∈(］(n=1,2,3,…)時(shí),試證明f(x)＜3x+3.

(文)如圖,設(shè)拋物線y2=2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F,經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn),且A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)為(x1,y1)、(x2,y2),y1＞0,y2＜0,P是此拋物線的準(zhǔn)線上的一點(diǎn),O是坐標(biāo)原點(diǎn).

(1)求證:y1y2=-p2;

(2)直線PA、PF、PB的方向向量為(1,a)、(1,b)、(1,c),求證:實(shí)數(shù)a、b、c成等差數(shù)列;

(3)若=0,∠APF=α,∠BPF=β,∠PFO=θ,求證:θ=|α-β|.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

(理)如圖,與拋物線x2=-4y相切于點(diǎn)A(-4,-4)的直線l分別交x軸、y軸于點(diǎn)F、E,過(guò)點(diǎn)E作y軸的垂線l0.

(1)若以l0為一條準(zhǔn)線,中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓恰與直線l也相切,切點(diǎn)為T(mén),求橢圓的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo);

(2)若直線l與雙曲線6x2-λy2=8的兩個(gè)交點(diǎn)為M、N,且點(diǎn)A為線段MN的中點(diǎn),又過(guò)點(diǎn)E的直線與該雙曲線的兩支分別交于P、Q兩點(diǎn),記在x軸正方向上的投影為p,且p2=m,m∈,求(1)中切點(diǎn)T到直線PQ的距離的最小值.

(文)如圖,與拋物線x2=-4y相切于點(diǎn)A(-4,-4)的直線l分別交x軸、y軸于點(diǎn)F、E,過(guò)點(diǎn)E作y軸的垂線l0.

(1)若以l0為一條準(zhǔn)線,中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓恰好過(guò)點(diǎn)F,求橢圓的方程;

(2)若直線l與雙曲線6x2-λy2=8的兩個(gè)交點(diǎn)為M、N,且點(diǎn)A為線段MN的中點(diǎn),又過(guò)點(diǎn)E的直線與該雙曲線的兩支分別交于P、Q兩點(diǎn),記在x軸正方向上的投影為p,且=m,m∈,求直線PQ的斜率的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：2011-2012學(xué)年江西省上饒市上饒縣中學(xué)高三（上）期末數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)試卷3（解析版） 題型：解答題

如圖過(guò)拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)P（0，m）（m＞0）作直線l與拋物線交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，點(diǎn)Q是P關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，以P，Q為焦點(diǎn)的橢圓為C2．
（1）求證：x1x2為定值；
（2）若l的方程為x-2y+4=0，且C1，C2以及直線l有公共點(diǎn)，求C2的方程；
（3）設(shè)，若，求證：λ=μ

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