Question

已知B是橢圓＞b＞0）上的一點，F(xiàn)是橢圓右焦點，且BF⊥x軸，．
（I）求橢圓E的方程；
（II）設A₁和A₂是長軸的兩個端點，直線l垂直于A₁A₂的延長線于點D，|OD|=4，P是l上異于點D的任意一點，直線A₁P交橢圓E于M（不同于A₁，A₂），設，求λ的取值范圍．

Answer 1

解：（I）由題意，c=1，左焦點為F′（-1，0），則2a=|BF|+|BF′|
∵，∴|BF|=，|BF′|=
∴2a=4，∴a=2
∴b²=a²-c²=3
∴橢圓E的方程為；
（II）由（I）知A₁（-2，0），A₂（2，0），設M（x₀，y₀），則
∵P，M，A₁三點共線，∴
∴，
∴=2（x₀+2）+=（2-x₀）
∵2＜x₀＜2，∴（2-x₀）∈（0，10）
∴λ的取值范圍為（0，10）．
分析：（I）由題意，c=1，左焦點為F′（-1，0），求出|BF|，|BF′|，利用2a=|BF|+|BF′|，即可求得橢圓E的方程；
（II）確定M，P的坐標，求得，，表示出，即可求得λ的取值范圍．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查向量知識的運用，正確表示向量的坐標，利用向量的數(shù)量積公式是關鍵．