Question

在△ABC中，角A，B，C所對邊分別為a，b，c，且向量

m

=（sinA，sinB），

n

=（cosB，cosA），滿足

m

•

n

=sin2C．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，且

AC

•(

AC

-

AB

)=18，求邊c的長．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)平面向量的數(shù)量積的運算法則及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡

m

•

n

=sin2C，得到sin2C等于sinC，化簡后即可求出cosC的值，根據(jù)C的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出C的度數(shù)；
（2）由sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得到2sinC等于sinA+sinB，根據(jù)正弦定理得到2c=a+b，再根據(jù)向量的減法法則化簡已知的

CA

•(

AB

-

AC

)=18，利用平面向量的數(shù)量積的運算法則得到ab的值，利用余弦定理表示出c的平方，把求出的C的度數(shù)，a+b=2c及ab的值代入即可列出關(guān)于c的方程，求出方程的解即可得到c的值．

解答：解：（1）

m

•

n

=sinAcosB+sinBcosA=sin(A+B)
對于△ABC，A+B=π-C，0＜C＜π，∴sin（A+B）=sinC
∴

m

•

n

=sinC
又∵

m

•

n

=sin2C，
∴sin2C=2sinCcosC=sinC，即cosC=

1

2

，又C∈（0，π）
∴C=

π

3

；
（2）由sinA，sinC，sinB成等差數(shù)列，得2sinC=sinA+sinB
由正弦定理得2c=a+b，
∵

AC

•(

AC

-

AB

)=18，
∴

AC

•

BC

=18，
得abcosC=18，即ab=36，
由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-3ab，
∴c²=4c²-3×36，即c²=36，
∴c=6．

點評：本題考查向量的運算、等差數(shù)列的性質(zhì)、正余弦定理解三角形知識，考查利用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力．