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【題目】已知數列滿足：

（1）求：，

（2）猜想數列的通項公式，并用數學歸納法證明；

（3）若且對于恒成立，求實數的取值范圍

【答案】（1）；（2），證明見詳解；（3）

【解析】

（1）通過賦值，結合已知條件，即可求得；

（2）根據數列的規(guī)律，進行歸納總結，再遵循數學歸納法的證明過程即可證明；

（3）先求，將問題轉換為恒成立問題，再求最值即可.

（1）

因為，故

（2）由（1）猜想

①當時，，顯然成立

②假設當時成立，即

則當時，

即證當時候，猜想成立；

綜上所述：對任意正整數都成立.

（3）因為，故：

若對于恒成立，則只需滿足恒成立即可

當時，恒成立滿足題意；

當時，顯然不可能成立；

當時，對稱軸

故在單調遞減，

故

解得，又，

故當時，滿足題意.

綜上所述，時，對于恒成立.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知拋物線過點，是拋物線上異于點的不同兩點，且以線段為直徑的圓恒過點.

（I）當點與坐標原點重合時，求直線的方程；

（II）求證：直線恒過定點，并求出這個定點的坐標.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】某校學生社團組織活動豐富，學生會為了解同學對社團活動的滿意程度，隨機選取了100位同學進行問卷調查，并將問卷中的這100人根據其滿意度評分值（百分制）按照[40，50），[50，60），[60，70），…，[90，100]分成6組，制成如圖所示頻率分布直方圖．

（1）求圖中x的值；

（2）求這組數據的中位數；

（3）現從被調查的問卷滿意度評分值在[60，80）的學生中按分層抽樣的方法抽取5人進行座談了解，再從這5人中隨機抽取2人作主題發(fā)言，求抽取的2人恰在同一組的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】在直角坐標系中，點，為直線：上的動點，過作的垂線，該垂線與線段的垂直平分線交于點，記的軌跡為.

(1)求的方程；

(2)若過的直線與曲線交于，兩點，直線，與直線分別交于，兩點，試判斷以為直徑的圓是否經過定點？若是，求出定點坐標；若不是，請說明理由.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】已知函數.

（1）討論函數的單調性；

（2）若函數的圖像與軸相切，求證：對于任意互不相等的正實數，，都有.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】定義：由橢圓的兩個焦點和短軸的一個頂點組成的三角形稱為該橢圓的“特征三角形”；如果兩個橢圓的“特征三角形”是相似的，則稱這兩個橢圓是“相似橢圓”，并將三角形的相似比稱為橢圓的相似比，已知橢圓.

（1）若橢圓，判斷與相似？如果相似，求出與的相似比；如果不相似，請說明理由；

（2）寫出與橢圓相似且焦點在軸上，短半軸長為的橢圓的標準方程；若在橢圓上存在兩點、關于直線對稱，求實數的取值范圍；

（3）如圖：直線與兩個“相似橢圓”和分別交于點和點，試在橢圓和橢圓上分別作出點和點（非橢圓頂點），使和組成以為相似比的兩個相似三角形，寫出具體作法.（不必證明）

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】設函數 若，則的最小值為__________； 若有最小值，則實數的取值范圍是_______．

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】矩陣乘法運算的幾何意義為平面上的點在矩陣的作用下變換成點，記，且.

（1）若平面上的點在矩陣的作用下變換成點，求點的坐標；

（2）若平面上相異的兩點、在矩陣的作用下，分別變換為點、，求證：若點為線段上的點，則點在的作用下的點在線段上；

（3）已知△的頂點坐標為、、，且△在矩陣作用下變換成△，記△與△的面積分別為與，求的值，并寫出一般情況（三角形形狀一般化且變換矩陣一般化）下與的關系（不要求證明）.

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科目：高中數學 來源： 題型：

【題目】如圖，在三棱錐中，，，且，.

（1）證明:平面平面；

（2）若點為的中點，求二面角的大小.

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