Question

5．在如圖所示的幾何體中，四邊形CDEF為正方形，四邊形ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB=2BC，∠BAD=60°，AE⊥BD．
（1）求證：CD∥平面ABFE；
（2）求直線BF與平面ADE所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由AB∥CD，能證明CD∥平面ABFE．
（2）法一：由余弦定理得BD=$\sqrt{3}$AD，由勾股定理得BD⊥AD，由此得到DE⊥平面ABCD，延長BF交AE的延長線于點H，連接DH．則∠DHB為直線BF與平面ADE所成的角，由此能求出直線BF與平面ADE所成角的正弦值．
（2）法二：由DA，DB，DE兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系D-xyz，利用向量法能求出直線BF與平面ADE所成角的正弦值．

解答 解：（1）∵AB∥CD，
CD?平面ABFE，AB?平面ABFE，
∴CD∥平面ABFE；（5分）
（2）解法一：∵AB=2BC=2AD，∠BAD=60°，
在△ABD中由余弦定理得BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}-2×AD×AB×cos60°}$=$\sqrt{3}$AD，
∴BD²+AD²=AB²，∴BD⊥AD．
∵AE⊥BD，AD∩AE=A，AD、AE?平面ADE，
∴BD⊥平面ADE．∴BD⊥DE．∵DE⊥DC，∴DE⊥平面ABCD．
延長BF交AE的延長線于點H，連接DH．
則∠DHB為直線BF與平面ADE所成的角，不妨取AB=2BC=2，
由題意得BD=$\sqrt{3}$，BH=AH=2$\sqrt{2}$，
∴直線BF與平面ADE所成角的正弦值為$\frac{BD}{BH}$=$\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．（12分）
（2）解法二：∵AB=2BC=2AD，∠BAD=60°，
在△ABD中由余弦定理得BD=$\sqrt{A{D}^{2}+A{B}^{2}-2×AD×AB×cos60°}$=$\sqrt{3}$AD，
∴BD²+AD²=AB²，∴BD⊥AD．
∵AE⊥BD，AD∩AE=A，AD、AE?平面ADE，
∴BD⊥平面ADE．∴BD⊥DE．∵DE⊥DC，∴DE⊥平面ABCD．
∵DA，DB，DE兩兩互相垂直，
建立如圖的空間直角坐標系D-xyz．
∵ABCD是等腰梯形，且AB=2BC，∠BAD=60°，∴CB=CD=CF．
不妨設BC=1，則D（0，0，0），A（1，0，0），B（0，$\sqrt{3}$，0），F(xiàn)（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，1）．
∴$\overrightarrow{FB}$=（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，-1），
又平面ADE的一個法向量可取$\overrightarrow{u}$=（0，1，0），
∴直線BF與平面ADE所成角的正弦值為|cos＜$\overrightarrow{FB}$，$\overrightarrow{u}$＞|=$\frac{|\overrightarrow{FB}•\overrightarrow{u}|}{|\overrightarrow{FB}|•|\overrightarrow{u}|}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}×1}$=$\frac{\sqrt{6}}{4}$．（12分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查線面角的正弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．