Question

（理）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是圓內(nèi)接四邊形（記此圓為W），PA⊥平面ABCD，PA=BD=2，AD=CD=

3

．
（1）當(dāng)AC是圓W的直徑時(shí)，求證：平面PBC⊥平面PAB；
（2）當(dāng)BD是圓W的直徑時(shí)，求二面角A-PD-C的余弦值；
（3）在（2）的條件下，判斷棱PA上是否存在一點(diǎn)Q，使得BQ∥平面PCD？若存在，求出AQ的長(zhǎng)，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,棱錐的結(jié)構(gòu)特征,平面與平面垂直的判定

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,存在型,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）應(yīng)用面面垂直的判定定理，證得BC⊥平面PAB即可；
（2）過(guò)A作AK⊥平面PCD，垂足為K，過(guò)A在面PAD內(nèi)，作AM⊥PD，連KD，則∠AMK為二面角A-PD-C的平面角，通過(guò)體積相等即V_P-ACD=V_A-PCD，求出AK，再在直角三角形PAD中求出AM，求出sin∠AMK，
從而得到cos∠AMK；
（3）假設(shè)棱PA上存在一點(diǎn)Q，使得BQ∥平面PCD，在面PAD內(nèi)，過(guò)Q作QN∥PD，交AD于N，連接BN，由面面平行的性質(zhì)定理得到BN∥CD，在直角△ABN中，求出AN，再在三角形PAD中，應(yīng)用平行線分線段成比例，得到AQ，從而說(shuō)明存在．

解答： （1）證明：∵AC是圓的直徑，∴AB⊥CB，
∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BC，
∴BC⊥平面PAB，
又BC?平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAB；
（2）解：過(guò)A作AK⊥平面PCD，垂足為K，
過(guò)A在面PAD內(nèi)，作AM⊥PD，連KD，
則KD⊥PD，故∠AMK為二面角A-PD-C的平面角，
在直角三角形PAD中，PA=2，AD=

3

，PD=

7

，
AM=

2 3

7

，
設(shè)AK=d，則V_P-ACD=V_A-PCD，

1

3

PA•

1

2

•AD•S_△ACD=

1

3

AK•S_△PCD，
∵PA=BD=2，AD=CD=

3

，BD是圓W的直徑，
∴△ABD為直角三角形，且∠ADB=30°，
△CBD為直角三角形，且∠CDB=30°，
∴△ACD為等邊三角形，S_△ACD=

3 3

4

，
在直角三角形PAC中，PC=

4+3

=

7

，
∴S_△PCD=

1

2

•

3

•

7- 3 4

=

5 3

4

，
∴

1

3

•2•

3 3

4

=

1

3

•AK•

5 3

4

即AK=

6

5

，
又AM=

2 3

7

，sin∠AMK=

6 5

2 3 7

=

21

5

，
∴cos∠AMK=

2

5

；
（3）解：在（2）的條件下，假設(shè)棱PA上存在一點(diǎn)Q，使得BQ∥平面PCD，
在面PAD內(nèi)，過(guò)Q作QN∥PD，交AD于N，連接BN，則QN∥平面PCD，
∴平面QBN∥平面PCD，BN∥CD，
∴在直角△ABN中，∠ANB=60°，AN=

3

3

，
∴在三角形PAD中，

AQ

AP

=

AN

AD

=

1

3

，
∴AQ=

2

3

．
∴在（2）的條件下，棱PA上存在一點(diǎn)Q，使得BQ∥平面PCD，且AQ=

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間直線與平面的位置關(guān)系，考查面面平行、垂直的判定與性質(zhì)，同時(shí)考查空間二面角的平面角的求法，是一道綜合題．