Question

已知等比數(shù)列{a_n}滿足2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂與a₄的等差中項(xiàng)；
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；    
（2）若b_n=a_n-log₂a_n，S_n=b₁+b₂+…+b_n，求使不等式S_n-2ⁿ⁺¹+47＜0成立的n的最小值．

Answer 1

分析：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，根據(jù)2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)，建立方程組，從而可求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）確定數(shù)列的通項(xiàng)，并求和，由S_n-2ⁿ⁺¹+47＜0，建立不等式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）設(shè)等比數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為a₁，公比為q，
∵2a₁+a₃=3a₂，且a₃+2是a₂，a₄的等差中項(xiàng)
∴a₁（2+q²）=3a₁q（1），a₁（q+q³）=2a₁q²+4（2）
由（1）及a₁≠0，得q²-3q+2=0，∴q=1，或q=2，
當(dāng)q=1時(shí)，（2）式不成立；當(dāng)q=2時(shí)，符合題意，
把q=2代入（2）得a₁=2，所以，a_n=2•2^n-1=2ⁿ；
（2）b_n=a_n-log₂a_n=2ⁿ-n．
所以S_n=b₁+b₂+…b_n=（2+2²++2ⁿ）-（1+2+…+n）=2ⁿ⁺¹-2-

1

2

n-

1

2

n² 
因?yàn)镾_n-2ⁿ⁺¹+47＜0，所以2ⁿ⁺¹-2-

1

2

n-

1

2

n²-2ⁿ⁺¹+47＜0，
即n²+n-90＞0，解得n＞9或n＜-10．
故使S_n-2ⁿ⁺¹+47＜0成立的正整數(shù)n的最小值為10．

點(diǎn)評(píng)：本題考查等比數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查解不等式，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列的通項(xiàng)與和，屬于中檔題．