Question

已知函數f（x）=

2mx-m2+1

x2+1

（x∈R）．
（1）當m=1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）求函數f（x）的單調區(qū)間與極值．

Answer 1

分析：（1）m=1時，f（x）=

2x

x2+1

，故f′(x)=

2-2x2

(x2+1)2

，由此能求出曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程．
（2）f′(x)=

2m(x2+1)-2x(2mx-m2+1)

(x2+1)2

=

-2(mx+1)(x-m)

(m2+1)2

，由此利用m的符號進行分類討論，能求出函數f（x）的單調區(qū)間與極值．

解答：解：（1）m=1時，f（x）=

2x

x2+1

，
∴f′(x)=

2-2x2

(x2+1)2

，
∴k=f′(2)=-

6

25

，
∵f（2）=

4

5

，
∴曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為：
y-

4

5

=-

6

25

（x-2），
整理，得6x+25y-32=0．
（2）f′(x)=

2m(x2+1)-2x(2mx-m2+1)

(x2+1)2

=

-2(mx+1)(x-m)

(m2+1)2

，
當m=0時，f′(x)=

-2x

(x2+1)2

＞0，
∴x＜0，
∴f（x）在（-∞，0）上為增函數，在[0，+∞）上為減函數，
∴f（x）極大值為f（0）=1，無極小值．
當m＞0時，f′(x)=

-2(mx+1)(x-m)

(x2+1)2

＞0，
∴-

1

m

＜x＜m，
∴f（x）在（-

1

m

，m）上為增函數，在（-∞，-

1

m

），（m，+∞）上為減函數，
∴f（x）極大值為f（m）=1，f（x）極小值為f（-

1

m

）=-m²．
當m＜0時，f′(x)=

-2(mx+1)(x-m)

(x2+1)2

＞0，
∴x＜m或x＞-

1

m

，
∴f（x）在（m，-

1

m

）上為減函數，在（-∞，m），（-

1

m

，+∞）上為增函數，
∴f（x）極大值為f（m）=1，f（x）極小值為f（-

1

m

）=-m²．

點評：本題考查切線方程的求法，考查函數f（x）的單調區(qū)間與極值．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數性質和分類討論思想的合理運用．