已知f（x）的定義域為（0，+∞），當x＞1時，f（x）＞0，且對于任意實數(shù)x，y滿足f（xy）=f（x）+f（y），f（2）=1．
（1）試判斷函數(shù)f（x）的單調(diào)性，并證明；
（2）試解不等式f（x）+f（x-2）＜3．
分析：（1）由條件求出f（1）=0，令y=
1
x
，可得 f（
1
x
）=-f（x）．設(shè) x2＞x1＞0，則
x2
x1
＞1，可得 f（
x2
x1
）=f（x2）+f（
1
x1
）=f（x2）-f（x1）＞0，從而得出結(jié)論．
（2）不等式即 f[x（x-2）]＜3，求得f（8）=3，不等式即 f[x（x-2）]＜f（8），由
x＞0
x-2＞0
x(x-2)＜8
 求得不等式的解集．
解答：解：（1）由題意可得 f（1）=f（1×1）=f（1）+f（1）=2f（1），∴f（1）=0．
令y=
1
x
，可得 f（1）=0=f（x）+f（
1
x
），∴f（
1
x
）=-f（x）．
設(shè) x2＞x1＞0，則
x2
x1
＞1，∴f（
x2
x1
）=f（x2）+f（
1
x1
）=f（x2）-f（x1）＞0，
即 f（x2）＞f（x1），函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)．
（2）不等式f（x）+f（x-2）＜3 即 f[x（x-2）]＜3．
由于 f（4）=f（2）+f（2）=2，f（8）=f（4）+f（2）=3，
故不等式即 f[x（x-2）]＜f（8）．
由
x＞0
x-2＞0
x(x-2)＜8
 解得 2＜x＜4，故不等式的解集為 （2，4）．
點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的判斷和證明，函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．
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已知f（x）的定義域是[0，1]，且f（x+m）+f（x-m）的定義域是∅，則正數(shù)m的取值范圍是
m＞
1
2
m＞
1
2
．

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已知f（x）的定義域為{x∈R|x≠0}，且f（x）是奇函數(shù)，當x＞0時f（x）=-x2+bx+c，若f（1）=f（3），f（2）=2．
（1）求b，c的值；及f（x）在x＞0時的表達式；
（2）求f（x）在x＜0時的表達式；
（3）若關(guān)于x的方程f（x）=ax（a∈R）有解，求a的取值范圍．

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已知f（x）的定義域為R+，且f（x+y）=f（x）+f（y）對一切正實數(shù)x，y都成立，若f（8）=4，則f（2）=（　�。�

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已知f（x）的定義域為[0，1]，求函數(shù)y=f（x+a）+f（x-a）（0＜a＜
12
）的定義域．

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