Question

已知函數(shù)f（x）滿足f（1+x）+f（1-x）=2，且直線y=k（x-1）+1與f（x）的圖象有5個交點，則這些交點的縱坐標(biāo)之和為（　�。�

A．10

B．5

C．4

D．3

Answer 1

分析：由題意可得函數(shù)f（x）關(guān)于點（1，1）中心對稱，這5個交點在直線直線y=k（x-1）+1上，點（1，1）必是交點之一．設(shè)5個交點的縱坐標(biāo)分別為 y₁，y₂，y₃，y₄，y₅，其中有 y₃=1，可知y₁與y₅、y₂與y₄ 均關(guān)于直線y=1對稱，由此求得這些交點的縱坐標(biāo)之和．

解答：解：對于任何函數(shù)y=f（x）：若滿足f（x+a）+f（b-x）=c，則此函數(shù)關(guān)于點（

a+b

2

，

c

2

）對稱．
∴函數(shù)f（x）關(guān)于點（1，1）中心對稱．
∵直線y=k（x-1）+1與f（x）的圖象5有個交點，且對稱點是成對的，∴點（1，1）必是交點之一．
由題意可知這5個交點在直線直線y=k（x-1）+1上．
設(shè)5個交點的縱坐標(biāo)分別為 y₁，y₂，y₃，y₄，y₅，其中有 y₃=1． 可知y₁與y₅、y₂與y₄ 均關(guān)于y=1對稱．
y₅=1-（ y₁-1）；y₄=1-（ y₂-1），
∴y₁+y₂+y₃+y₄+y₅=5，
∴這些交點的縱坐標(biāo)之和為5，
故選B．

點評：本題主要考查函數(shù)的零點與方程的根的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．