Question

16．如圖，在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD丄底面ABCD，△PCD為等邊三角形，M為BC中點(diǎn)，N為CD中點(diǎn)．若底面ABCD是矩形且AD=2$\sqrt{2}$，AB=2．
（1）證明：MN∥平面PBD；
（2）證明：AM丄平面PMN．

Answer 1

分析 （1）由M為BC中點(diǎn)，N為CD中點(diǎn)，可證MN∥BD，即可證明MN∥平面PBD．
（2）由△PCD為等邊三角形，N為CD中點(diǎn)．可證PN⊥CD，又可證PN⊥平面ABCD，從而可證PN⊥AM，連接AN，由勾股定理分別求得：AM，MN，AN，可證AM²+MN²=AN²，即AM⊥MN，從而可證AM⊥平面PMN．

解答 （本題滿分為12分）
證明：（1）∵M(jìn)為BC中點(diǎn)，N為CD中點(diǎn)．
∴MN∥BD，
又∵BD?平面PBD，MN?平面PBD，
∴MN∥平面PBD…4分
（2）∵△PCD為等邊三角形，N為CD中點(diǎn)．
∴PN⊥CD，
∵側(cè)面PCD丄底面ABCD，平面PCD∩平面ABCD=CD，PN?平面PCD，
∴PN⊥平面ABCD，
∵AM?平面ABCD，
∴PN⊥AM，…7分
連接AN，在Rt△ABM，Rt△MCN，Rt△ADN中，
由勾股定理分別求得：AM=$\sqrt{A{B}^{2}+B{M}^{2}}$=$\sqrt{6}$，MN=$\sqrt{M{C}^{2}+C{N}^{2}}$=$\sqrt{3}$，AN=$\sqrt{A{D}^{2}+D{N}^{2}}$=3，
∴AM²+MN²=AN²，
∴AM⊥MN，
又∵M(jìn)N∩PN=N，MN?平面PMN，PN?平面PMN，
∴AM⊥平面PMN…12分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了直線與平面垂直的判定，直線與平面平行的判定，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．