Question

【題目】如圖，在直角中，，，，、分別是、上一點(diǎn)，且滿足平分，，以為折痕將折起，使點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面.

（1）證明：；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）在直角中，連接交于點(diǎn)，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得出，則在三棱錐中，可得出，，可推導(dǎo)出平面，進(jìn)而可得出；

（2）推導(dǎo)出平面，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算出平面的一個法向量，利用空間向量法可計(jì)算出二面角的余弦值，進(jìn)而可求得其正弦值.

（1）在直角中，連接交于點(diǎn)，如下圖所示：

，，且，，

平分，，則有，，

在三棱錐中，，，

，平面，

平面，；

（2）由（1）知，在三棱錐中，，

平面平面，平面平面，平面，

平面，

，、、兩兩垂直，

以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則、、，

，，

設(shè)平面的一個法向量為，

由，得，可得，

令，則，，可得.

易知平面的一個法向量為，所以，，

設(shè)二面角的平面角為，則.

因此，二面角的正弦值為.