Question

設命題P：關于x的不等式x+|x-2a|＞1的解集為R，命題Q：函數(shù)y=lg（ax²-ax+1）的定義域為R．如果P且Q為假命題，P或Q為真命題，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：分別求出命題P，Q為真命題時的等價條件，利用命題P或Q為真命題，P且Q為假命題，求a的范圍即可．

解答：解：x+|x-2a|＞1的解集為R?函數(shù)y=x+|x-2a|在R上恒大于1．…（2分）
∵y=x+|x-2a|=

2x-2a，x≥2a 2a，x＜2a

∴函數(shù)y=x+|x-2a|在R上的最小值為2a…（5分）
∴不等式x+|x-2a|＞1的解集為R的充要條件是2a＞1?a＞

1

2

…（6分）
Q正確?ax²-ax+1＞0恒成立．當a=0時，ax²-ax+1=1＞0對一切實數(shù)恒大于0，適合題意．
當a≠0時，ax²-ax+1＞0恒成立?

a＞0 △=a2-4a＜0

⇒0＜a＜4
Q正確?ax²-ax+1＞0恒成立?0≤a＜4，…（10分）
有題意知P和Q有且僅有一個正確，
故實數(shù)a的取值范圍為{a|a≥4或0≤a≤

1

2

}   …（12分）

點評：本題主要考查復合命題的真假判斷和應用，要求熟練掌握復合命題真假與簡單命題真假之間的關系．