Question

形狀如右圖所示的三個(gè)游戲盤中（圖a是正方形，圖b是半徑之比為1：2的兩個(gè)同心圓，圓c是正六邊形），各有一個(gè)玻璃小球，依次搖動(dòng)三個(gè)游戲盤后，將它們水平放置，就完成了一局游戲．
（I）一局游戲后，這三個(gè)盤中的小球都停在陰影部分的概率是多少？
（II）用隨機(jī)變量ξ表示一局游戲后，小球停在陰影部分的事件數(shù)與小球沒有停在陰影部分的事件數(shù)之差的絕對(duì)值，求隨機(jī)變量ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

解：（I）由題意知，圖a中，小球停在陰影部分的概率是，
圖b中小球停在陰影部分的概率是，
圖c中小球停在陰影部分的概率是，
且三個(gè)小球是否停在陰影部分相互之間沒有關(guān)系，
∴根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率得到P=
（II）∵ξ表示小球停在陰影部分的事件數(shù)與小球沒有停在陰影部分的事件數(shù)之差的絕對(duì)值，
一次游戲結(jié)束小球停在陰影部分的事件數(shù)可能是0，1，2，3，
則小球沒有停在陰影部分的事件數(shù)是3，2，1，0，
∴ξ的可能取值是1，3，
當(dāng)ξ=3時(shí)，表示三個(gè)小球都在陰影部分或三個(gè)小球都不在陰影部分，
P（ξ=3）==
P（ξ=1）=1-=
∴ξ的分布列是

ξ	1	3
p

∴數(shù)學(xué)期望Eξ=
分析：（I）先根據(jù)幾何概型的概率公式得到在三個(gè)圖形中，小球停在陰影部分的概率，因?yàn)槿齻�(gè)小球是否停在陰影部分相互之間沒有關(guān)系，根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率得到結(jié)果．
（II）根據(jù)一次游戲結(jié)束小球停在陰影部分的事件數(shù)可能是0，1，2，3，得到ξ的可能取值是1，3，當(dāng)變量等于3時(shí)，表示三個(gè)小球都在陰影部分或三個(gè)小球都不在陰影部分，這兩種情況是互斥的，得到概率，分布列和期望．
點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何概型的概率公式，考查相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和期望，本題是一個(gè)典型的綜合題目，可以作為高考卷中的題目出現(xiàn)．