Question

設(shè)=，=（4sin x，cos x-sin x），f（x）=•．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）已知常數(shù)ω＞0，若y=f（ωx）在區(qū)間是增函數(shù)，求ω的取值范圍；
（3）設(shè)集合A=，B={x||f（x）-m|＜2}，若A⊆B，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）通過(guò)數(shù)量積的計(jì)算，利用二倍角公式化簡(jiǎn)函數(shù)的表達(dá)式，化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)的形式，即可．
（2）結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，y=f（ωx）在區(qū)間是增函數(shù)，說(shuō)明⊆．求出ω的取值范圍；
（3）簡(jiǎn)化集合B，利用A⊆B，得到恒成立的關(guān)系式，求出實(shí)數(shù)m的取值范圍．
解答：解：（1）f（x）=sin²•4sinx+（cosx+sinx）•（cosx-sinx）
=4sinx•+cos2x
=2sinx（1+sinx）+1-2sin²x=2sinx+1，
∴f（x）=2sinx+1．

（2）∵f（ωx）=2sinωx+1，ω＞0．
由2kπ-≤ωx≤2kπ+，
得f（ωx）的增區(qū)間是，k∈Z．
∵f（ωx）在上是增函數(shù)，
∴⊆．
∴-≥-且≤，
∴．

（3）由|f（x）-m|＜2，得-2＜f（x）-m＜2，即f（x）-2＜m＜f（x）+2．
∵A⊆B，∴當(dāng)≤x≤時(shí)，
不等式f（x）-2＜m＜f（x）+2恒成立，
∴f（x）_min-2＜m＜f（x）_max+2，
∵f（x）_max=f（）=3，f（x）_min=f（）=2，
∴m∈（1，4）．
點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，以向量的數(shù)量積為平臺(tái)，考查三角函數(shù)的基本公式的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性，以及函數(shù)的值域的求值范圍，恒成立的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化思想．