Question

某地發(fā)生特大地震和海嘯，使當(dāng)?shù)氐淖詠?lái)水受到了污染，某部門對(duì)水質(zhì)檢測(cè)后，決定往水中投放一種藥劑來(lái)凈化水質(zhì)．已知每投放質(zhì)量為m的藥劑后，經(jīng)過x天該藥劑在水中釋放的濃度y（毫克/升）滿足，當(dāng)藥劑在水中釋放的濃度不低于4（毫克/升）時(shí)稱為有效凈化；當(dāng)藥劑在水口釋放的濃度不低于4（毫克/升）且不高于10（毫克/升）時(shí)稱為最佳凈化．
（1）如果投放的藥劑質(zhì)量為m=4，試問自來(lái)水達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)幾天？
（2）如果投放的藥劑質(zhì)量為m，為了使在7天（從投放藥劑算起包括7天）之內(nèi)的自來(lái)水達(dá)到最佳凈化，試確定該投放的藥劑質(zhì)量m的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）由m=4，且y=m•f（x），可得藥劑在水中釋放濃度y的函數(shù)；因?yàn)楹瘮?shù)y是分段函數(shù)，在求釋放濃度不低于4（即y≥4）時(shí)，要分區(qū)間去求解．
（2）由函數(shù)y是分段函數(shù)，故分區(qū)間討論函數(shù)的單調(diào)性，從而求得y的取值范圍，即藥劑在水中釋放濃度的大小；為使最佳凈化，即4≤y≤10恒成立，只要使y的取值范圍在區(qū)間[4，10]內(nèi)即可，從而解出m的值．
解答：解：（1）因?yàn)閙=4，所以y=m•f（x）=；
所以，當(dāng)0＜x≤4時(shí)，x+8≥4顯然成立，當(dāng)x＞4時(shí)，≥4，得4＜x≤8；綜上知，0＜x≤8；
所以，自來(lái)水達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)8天．
（2）由y=m•f（x）=知，在區(qū)間（0，4]上單調(diào)遞增，即2m＜y≤3m，在區(qū)間（4，7]上單調(diào)遞減，即≤y＜3m，綜上知，≤y≤3m；為使4≤y≤10恒成立，只要≥4，且3m≤10即可，即m=；
所以，為了使在7天之內(nèi)的自來(lái)水達(dá)到最佳凈化，該投放的藥劑量應(yīng)為．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了分段函數(shù)模型的靈活應(yīng)用；分段函數(shù)求最值時(shí)，要在每一個(gè)區(qū)間上求出最值，再通過比較，得出函數(shù)的最值．