Question

4．已知數(shù)列{a_n}是各項均不為0的正項數(shù)列，S_n為前n項和，且滿足2$\sqrt{S_n}={a_n}$+1，n∈N^*，若不等式$\sqrt{S_n}$λ≤2a_n+1+8（-1）ⁿ對任意的n∈N^*恒成立，求實數(shù)λ的最大值為（　�。�

• A． -21
• B． -15
• C． -9
• D． -2

Answer 1

分析 2$\sqrt{S_n}={a_n}$+1，n∈N^*，可得4S_n=$（{a}_{n}+1）^{2}$，n≥2時，4a_n=4（S_n-S_n-1），a_n＞0，化為a_n-a_n-1=2，n=1時，4a₁=$（{a}_{1}+1）^{2}$，解得a₁=1．利用等差數(shù)列的通項公式與求和公式可得：a_n，S_n．不等式$\sqrt{S_n}$λ≤2a_n+1+8（-1）ⁿ對任意的n∈N^*恒成立，化為：λ≤$\frac{4n+2+8（-1）^{n}}{n}$=f（n），對n分類討論即可得出．

解答 解：∵2$\sqrt{S_n}={a_n}$+1，n∈N^*，∴4S_n=$（{a}_{n}+1）^{2}$，
∴n≥2時，4a_n=4（S_n-S_n-1）=$（{a}_{n}+1）^{2}$-$（{a}_{n-1}+1）^{2}$，
化為：（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0，a_n＞0，
∴a_n-a_n-1=2，
n=1時，4a₁=$（{a}_{1}+1）^{2}$，解得a₁=1．
∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，公差為2，首項為1．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1，S_n=$\frac{n（1+2n-1）}{2}$=n²．
不等式$\sqrt{S_n}$λ≤2a_n+1+8（-1）ⁿ對任意的n∈N^*恒成立，
化為：λ≤$\frac{4n+2+8（-1）^{n}}{n}$=f（n），
則f（2k-1）=$\frac{4n-6}{n}$=4-$\frac{6}{n}$≥-2．
f（2k）=$\frac{4n+10}{n}$=4+$\frac{10}{n}$∈（4，9]．
∴實數(shù)λ的最大值為-2．
故選：D．

點評 本題考查等差數(shù)列的通項公式與求和公式、等價轉(zhuǎn)化方法、分類討論方法、數(shù)列遞推關(guān)系，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．