Question

已知函數(shù)f（x）=log₃（x²-2mx+2m²+

9

m2-3

）的定義域?yàn)镽．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值集合M；
（2）求證：對m∈M所確定的所有函數(shù)f（x）中，其函數(shù)值最小的一個(gè)是2，并求使函數(shù)值等于2的m的值和x的值．

Answer 1

分析：（1）將函數(shù)的定義域?yàn)镽轉(zhuǎn)化成x²-2mx+2m²+

9

m2-3

＞0對任意的x∈R恒成立，然后利用判別式建立關(guān)系即可；
（2）利用基本不等式求出對數(shù)的真數(shù)的最小值，然后根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最小值，從而建立關(guān)系式，解之即可求出所求．

解答：解：（1）由題意，有x²-2mx+2m²+

9

m2-3

＞0對任意的x∈R恒成立
所以△=4m²-4（2m²+

9

m2-3

）＜0
即-m²-

9

m2-3

＜0
∴

(m2- 3 2 )2+27

m2-3

＞0
由于分子恒大于0，只需m²-3＞0即可
所以m＜-

3

或m＞

3

∴M={m|m＜-

3

或m＞

3

}
（2）x²-2mx+2m²+

9

m2-3

=（x-m）²+m²+

9

m2-3

≥m²+

9

m2-3

當(dāng)且僅當(dāng)x=m時(shí)等號成立．
所以，題設(shè)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)的最小值為m²+

9

m2-3

又因?yàn)橐?為底的對數(shù)函數(shù)為增函數(shù)
∴f（x）≥log₃（m²+

9

m2-3

）
∴當(dāng)且僅當(dāng)x=m（m∈M）時(shí)，f（x）有最小值為log₃（m²+

9

m2-3

）
又當(dāng)m∈M時(shí)，m²-3＞0
∴m²+

9

m2-3

=m²-3+

9

m2-3

+3≥2

(m2-3)• 9 m2-3

+3=9
當(dāng)且僅當(dāng)m²-3=

9

m2-3

，即m=±

6

時(shí)，
log₃（m²+

9

m2-3

）有最小值log₃（6+

9

6-3

）=log₃9=2
∴當(dāng)x=m=±

6

時(shí)，其函數(shù)有最小值2．

點(diǎn)評：本題主要考查了函數(shù)恒成立問題，以及基本不等式的應(yīng)用，同時(shí)考查了轉(zhuǎn)化的思想和計(jì)算的能力，屬于中檔題．