Question

已知如圖：平行四邊形ABCD中，BC=2，CD=

2

，BD⊥CD，正方莆ADEF所在平面與平面ABCD垂直，G，H分別是DF，BE的中點(diǎn)．
（1）求證：GH∥平面CDE；
（2）求平面ECFE與平面ABCD所成的二面角的正弦值．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)ADEF是正方形得到G是AE的中點(diǎn)，再結(jié)合GH∥AB即可得到GH∥CD，進(jìn)而得到結(jié)論；
（2）在平面DBC內(nèi)過點(diǎn)D作DM⊥BC于M，連接EM，判斷∠EMD是平面ECF與平面ABCD所成的二面角的平面角，求出其正弦值即可．

解答：（1）證明：連接EA，
∵ADEF是正方形，∴G是AE的中點(diǎn)-------（1分）
∴在△EAB中，GH∥AB--（2分）
又∵AB∥CD，∴GH∥CD，--（3分）
∵HG?平面CDE，CD?平面CDE
∴GH∥平面CDE----（4分）
（2）解：在平面DBC內(nèi)過點(diǎn)D作DM⊥BC于M，連接EM
∵BC⊥ED，∴BC⊥平面EMD
∵EM?平面EMD，∴BC⊥EM
∴∠EMD是平面ECF與平面ABCD所成的二面角的平面角-------（12分）
∵CD=

2

，BD=

2

∴DM=

1

2

BC=1，EM=

ED2+DM2

=

5

∴sin∠EMD=

ED

EM

=

2 5

5

即平面ECF與平面ABCD所成的二面角的正弦值為

2 5

5

點(diǎn)評(píng)：本題考查線面平行，考查面面角，解題的關(guān)鍵是掌握線面平行的判定，正確作出面面角．